2023-2024学年初中数学沪科版八年级下册 16.1 二次根式同步分层训练培优卷

试卷更新日期：2024-01-29 类型：同步测试

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一、选择题

1. 若 $\sqrt{(x - 2) (x - 1)} = \sqrt{x - 2} \cdot \sqrt{x - 1}$ ，则x的取值范围是（）

A、x≥2 B、x≤1 C、1≤x≤2 D、x≥0

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2^{2}}$ =2 B、 $\sqrt{(- 2)^{2}}$ =-2 C、 $\sqrt{2^{2}}$ =±2 D、 $\sqrt{(- 2)^{2}}$ =±2

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3. 定义新运算： $a * b = \frac{\sqrt{a + b}}{a - b} (a \neq b$ 且 $a + b > 0)$ ，则 $6 * (6 * 3)$ 的值为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{7}}{5}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\frac{7}{5}$

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4. 函数 $y = \frac{\sqrt{x - 1}}{x}$ 中自变量 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \geq 1$ B、 $x \geq 1$ 且 $x \neq 0$ C、 $x \leq 1$ 且 $x \neq 0$ D、 $x > 1$

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5. 若 $x = 3 - \sqrt{2023}$ ，则代数式x²-6x-8的值是(　　)

A、2006 B、2005 C、2004 D、2003

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6. 若 $a_{n} = 1 + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}}$ （n为正整数），则下列说法正确的个数是（　　）
① ${\sqrt{a}}_{1} = 1 \frac{1}{2} ， \sqrt{a_{2}} = 1 \frac{1}{6} ， \sqrt{a_{3}} = 1 \frac{1}{12}$ ；
② $\sqrt{a_{4}} = 1 + \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$ ；
③ $\sqrt{a_{1}} + \sqrt{a_{2}} + \sqrt{a_{3}} + ⋯ + \sqrt{a_{8}} = 8 \frac{8}{9}$ ．

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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7. 设等式 $\sqrt{a (x - a)} + \sqrt{a (y - a)} = \sqrt{x - a} - \sqrt{a - y}$ 在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则 $\frac{3 x^{2} + x y - y^{2}}{x^{2} - x y + y^{2}}$ 的值是（）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、2 D、 $\frac{5}{3}$

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8. “分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})} = 7 + 4 \sqrt{3}$ ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，设x= $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，易知 $\sqrt{3 + \sqrt{5}}$ > $\sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，故x>0，由x²= ${(\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}})}^{2}$ = $3 + \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5} - 2 \sqrt{(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})}$ =2，解得x= $\sqrt{2}$ ，即 $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}} = \sqrt{2}$ 。根据以上方法，化简 $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \sqrt{6 - 3 \sqrt{3}} - \sqrt{6 + 3 \sqrt{3}}$ 后的结果为（）

A、5+3 $\sqrt{6}$ B、5+ $\sqrt{6}$ C、5- $\sqrt{6}$ D、5-3 $\sqrt{6}$

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二、填空题

9. 要使 $\frac{1}{\sqrt{x - 8}}$ 有意义， $x$ 的取值范围是．

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10. 如果y= $\sqrt{7 - x} + 3 \sqrt{x - 7} + 2$ ，那么 $x^{y}$ = ．

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11. $\sqrt{a - 3}$ +（b+2）²+|c﹣2022|＝0，则（a+b）^c的值为．

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12. 函数y= $\sqrt{3 - 2 x}$ - $\sqrt{5 x + 15}$ - $\sqrt[3]{x - 5}$ 的最大值为.

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13. 观察下列各式：
$\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} = 1 + \frac{1}{1 \times 2} = 1 + (1 - \frac{1}{2})$ ，

$\sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} = 1 + \frac{1}{2 \times 3} = 1 + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})$ ，

$\sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} = 1 + \frac{1}{3 \times 4} = 1 + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4})$ ，

……

请利用你发现的规律，计算：

$\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} + \dots +$

$\sqrt{1 + \frac{1}{2020^{2}} + \frac{1}{2021^{2}}}$

其结果为

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三、解答题

14. 我们以前学过完全平方公式 $(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ ，现在，又学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如 $3 = (\sqrt{3})^{2}$ ， $5 = (\sqrt{5})^{2}$ ，下面我们观察： $(\sqrt{2} - 1)^{2} = (\sqrt{2})^{2} - 2 \times 1 \times \sqrt{2} + 1^{2} = 2 - 2 \sqrt{2} + 1 = 3 - 2 \sqrt{2}$ ．
反之， $3 - 2 \sqrt{2} = 2 - 2 \sqrt{2} + 1 = (\sqrt{2} - 1)^{2}$
$∵ 3 - 2 \sqrt{2} = (\sqrt{2} - 1)^{2}$ $∴ \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$ ．
仿上例，求：

(1)、 $\sqrt{4 - 2 \sqrt{3}}$ ；

(2)、计算： $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} + \sqrt{7 - 2 \sqrt{12}} + \dots \dots + \sqrt{19 - 2 \sqrt{90}}$ ；

(3)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，则求 $4 a^{3} - 9 a^{2} - 2 a + 1$ 的值．

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四、综合题

15. 观察下列等式及验证，解答后面的问题：
第1个等式： $\sqrt{2 + \frac{2}{3}} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}}$ ，验证： $\sqrt{2 + \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}}$ ；

第2个等式： $\sqrt{3 + \frac{3}{8}} = 3 \sqrt{\frac{3}{8}}$ ，验证： $\sqrt{3 + \frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{27}{8}} = 3 \sqrt{\frac{3}{8}}$ ；

第3个等式： $\sqrt{4 + \frac{4}{15}} = 4 \sqrt{\frac{4}{15}}$ ，验证： $\sqrt{4 + \frac{4}{15}} = \sqrt{\frac{64}{15}} = 4 \sqrt{\frac{4}{15}} ， ⋯$ ．

(1)、请写出第4个等式，并验证；

(2)、按照以上各等式反映的规律，猜想第 $n - 1$ 个 $(n$ 为正整数，且 $n \geq 2)$ 等式，并通过计算验证你的猜想．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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