高中数学三轮复习（直击痛点）：专题9平面向量数量积的最值问题

试卷更新日期：2024-01-27 类型：三轮冲刺

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一、选择题

1. 在一个边长为2的等边三角形 $A B C$ 中，若点P是平面 $A B C$ (包括边界)中的任意一点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P C}$ 的最小值是（）

A、 $- \frac{5}{2}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $- 1$ D、 $- \frac{3}{4}$

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2. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图2所示其外框是边长为2的正六边形ABCDEF ，内部圆的圆心为该正六边形的中心О ，圆О的半径为1，点P在圆О上运动，则 $\vec{P E} \cdot \vec{O E}$ 的最小值为（）

A、-1 B、-2 C、1 D、2

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3. 在 $△ A B C$ 中， $| \vec{A B} | = | \vec{A C} | = 2$ ， $∠ A = 120 °$ ，点 $M$ 满足 $\vec{A M} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ， $λ + 2 μ = 1$ ，则 $| \vec{A M} |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{14}$ C、2 D、1

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4. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{B O} = 2 \vec{O C}$ ，过点O的直线分别交直线 $A B ， A C$ 于M，N两个不同的点，若 $\vec{A B} = m \vec{A M} ， \vec{A C} = n \vec{A N}$ ，其中m，n为实数，则 $m^{2} + 4 n^{2}$ 的最小值为（）

A、1 B、4 C、 $\frac{9}{2}$ D、5

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5. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $6 0^{∘}$ ，且 ${\vec{c}}^{2} - 2 \vec{a} \cdot \vec{c} + 3 = 0$ ，则 $| \vec{b} + \vec{c} |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3} - 1$

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二、多项选择题

6. 已知 $⊙ Q ： (x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 2$ 与 $l ： y = - x$ 交于 $A ､ B$ 两点， $M$ 为曲线 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 上的动点，则（）

A、 $M$ 到直线 $l$ 距离最小值为 $\sqrt{2}$ B、 $\vec{M A} \cdot \vec{M B} > 0$ C、存在点 $M$ ，使得 $△ M A B$ 为等边三角形 D、 $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ 最小值为2

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7. 已知 $P ， Q$ 是边长为1的正方形 $A B C D$ 边上的两个动点，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{A P} \cdot \vec{D Q}$ 的最小值为 $- 1$ B、 $\vec{C Q} \cdot \vec{B P}$ 的最大值为2 C、 $\vec{A P} \cdot \vec{C Q} - \vec{B P} \cdot \vec{D Q}$ 的最小值为 $- 2$ D、 $\vec{A P} \cdot \vec{C Q} - \vec{B P} \cdot \vec{D Q}$ 的最大值为1

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8. 已知 $M$ 是边长为1的正六边形 $A B C D E F$ 所在平面内一点， $t = (\vec{M A} + \vec{M C}) \cdot (\vec{M B} + \vec{M D})$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $M$ 为正六边形 $A B C D E F$ 的中心时， $t = \frac{1}{2}$ B、 $t$ 的最大值为4 C、 $t$ 的最小值为 $- \frac{1}{4}$ D、 $t$ 可以为0

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三、填空题

9. 已知圆 $M ： x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ ，圆 $N ： x^{2} + (y + 1)^{2} = 1$ ，直线 $l_{1} ､ l_{2}$ 分别过圆心 $M ､ N$ ，且 $l_{1}$ 与圆 $M$ 相交于 $A ､ B$ 两点， $l_{2}$ 与圆 $N$ 相交于 $C ､ D$ 两点，点 $P$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上任意一点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P C} \cdot \vec{P D}$ 的最小值为.

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10. 如图，D是等边 $△ O B C$ 内的动点，四边形 $O A D C$ 是平行四边形， $| O A | = | O D | = 1$ ．当 $| \vec{O A} + \vec{O B} |$ 取得最大值时， $\vec{O A} \cdot \vec{O B} =$ ．

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11. 在 $△ A B C$ 中， $B = 60 °$ ， $B A = 2$ ， $C D = 3 B C$ ，对任意 $u \in R$ ，有 $| \vec{C A} - (μ - 1) \vec{B C} | \geq | \vec{A C} |$ 恒成立，点 $P$ 是直线 $B A$ 上，则 $C P + D P$ 的最小值是．

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12. 已知在 $△ A B C$ 中， $A B = 2 ， A C = \sqrt{17} ， B C = 3 ， P$ 为平面 $A B C$ 内一点，则 $\vec{P C} \cdot (\vec{P A} + \vec{P B})$ 的最小值是.

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13. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为2， $O$ 为对角线的交点，动点 $M$ 在线段 $A D$ 上，点 $M$ 关于点 $O$ 的对称点为点 $N$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{A N}$ 的最大值为．

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14. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 2$ ， $| \vec{c} | = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 2$ ，若 $\vec{c} = λ \vec{a} + μ \vec{b} ， (λ \in R ， μ \in R)$ ，则 $λ - 2 μ$ 的最大值是．

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四、解答题

15. $△ A B C$ 的内角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，且 $\sqrt{3} b c o s A + a s i n B = \sqrt{3} c$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $a + 2 c = 6$ ，求 $b$ 的最小值.

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16. 已知 $M$ 、 $N$ 分别是 $x$ 轴， $y$ 轴上的动点，且 $| M N | = 4 + 2 \sqrt{3}$ ，动点 $P$ 满足 $\bar{M P} = \frac{\sqrt{3}}{2} \bar{P N}$ ，设点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的轨迹方程；

(2)、直线 $l_{1} ： 3 x - 2 y = 0$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $G$ 为线段 $A B$ 上任意一点（不与端点重合），斜率为 $k$ 的直线 $l_{2}$ 经过点 $G$ ，与曲线 $C$ 交于 $E$ 、 $F$ 两点，若 $\frac{| E F |^{2}}{| G A | \cdot | G B |}$ 的值与点 $G$ 的位置无关，求 $| G E | ： | G F |$ 的值.

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17. 已知直线 $l$ 过点 $P (4 ， 3)$ ，

(1)、若直线 $l$ 在 $x$ 轴上的截距是在 $y$ 轴上截距的2倍，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴正半轴交于点 $B$ ，求 $\vec{A P} \cdot \vec{P B}$ 的最小值及取得最小值时直线 $l$ 的方程.

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18. 在直角坐标系中， $O$ 是坐标原点，向量 $\vec{O A} = (3 ， 1) ， \vec{O B} = (2 ， - 1) ， \vec{O C} = (a ， b)$ ，其中 $a > 0 ， b > 0$ ．

(1)、若 $\vec{O B}$ 与 $\vec{O C}$ 的夹角为 $45 °$ ，求 $\frac{b}{a}$ 的值；

(2)、若 $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值．

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19. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 $2 b c o s C = 2 a - c$ ．

(1)、若 $△ A B C$ 外接圆的半径为 $\sqrt{3}$ ，且AC边上的中线长为 $\frac{\sqrt{17}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、 $△ A B C$ 的外心O、重点G、垂心H依次位于同一直线上，这条直线叫欧拉线，证明：
（i） $\vec{O G} = \frac{1}{3} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})$ ；

（ii） $\vec{O H} = 3 \vec{O G}$ ．

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20. 已知 $\vec{m} = (cosα ， sinα) ， \vec{n} = (\sqrt{3} ， - 1) ， α \in (0 ， π) .$

(1)、若 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，求角 $α$ 的值；

(2)、求 $| \vec{m} + \vec{n} |$ 的最小值.

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21. 在 $△$ ABC中，角A，B，C的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足 $(2 a - c) \vec{B A} \cdot \vec{B C} = c \vec{C B} \cdot \vec{C A}$

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $| \vec{B A} - \vec{B C} | = 2$ ，求 $△$ ABC面积的最大值.

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