高中数学三轮复习（直击痛点）：专题8向量共线定理的应用

试卷更新日期：2024-01-27 类型：三轮冲刺

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一、选择题

1. 已知点 $P$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一点， $O$ 为平面 $A B C$ 外一点，若 $\vec{O P} = m \vec{O A} + n \vec{O B} + 2 \vec{O C}$ 则 $m + n$ 的值为（）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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2. 在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是线段 $A C$ 上一点，点 $P$ 是线段 $B D$ 上一点，且 $\vec{C D} = \vec{D A}$ ， $\vec{A P} = λ \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A C}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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3. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 和实数 $λ$ ，则“ $\vec{a} = λ \vec{b}$ ”是“ $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. P是 $Δ A B C$ 所在平面内一点，若 $\vec{C B} = λ \vec{P A} + \vec{P B}$ ，其中 $λ \in R$ ，则点P一定在（）

A、 $Δ A B C$ 内部 B、AC边所在的直线上 C、AB边所在的直线上 D、BC边所在的直线上

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5. 已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $\vec{A B} = \vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{B C} = - 5 \vec{a} + 6 \vec{b}$ ， $\vec{C D} = 7 \vec{a} - 2 \vec{b}$ ，则一定共线的三点是（）

A、A ， B ， D B、A ， B ， C C、B ， C ， D D、A ， C ， D

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $B C$ 和边 $A B$ 上， $D$ ， $E$ 分别为 $B C$ 和 $B A$ 的三等分点，点 $D$ 靠近点 $B$ ，点 $E$ 靠近点 $A$ ， $A D$ 交 $C E$ 于点 $P$ ，设 $\vec{B C} = \vec{a}$ ， $\vec{B A} = \vec{b}$ ，则 $\vec{B P} =$ （）

A、 $- \frac{1}{7} \vec{a} + \frac{3}{7} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{7} \vec{a} + \frac{4}{7} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{7} \vec{a} + \frac{3}{7} \vec{b}$ D、 $\frac{2}{7} \vec{a} + \frac{4}{7} \vec{b}$

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二、多项选择题

7. 已知点 $O (0，0)$ ， $A (1，3)$ ， $B (3，1)$ ， $\vec{O P} = λ \vec{O A} + μ \vec{O B} (λ ， μ \in R)$ ，则下列结论正确的为（）

A、当 $\frac{λ}{μ} = 2$ 时， $\vec{O P} ⊥ \vec{A B}$ B、当 $λ + μ = 1$ 时，点 $P$ 在直线 $A B$ 上 C、当 $λ = μ$ 时， $\vec{O P} = \vec{A P} + \vec{O B}$ D、当 $λ - μ = 1$ 时， $\vec{O P}$ 在 $\vec{A B}$ 方向上的投影向量的模为 $\sqrt{2}$

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8. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）

A、 $\vec{a} = (\frac{9}{2} ， k)$ ， $\vec{b} = (k ， 8)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $k = 6$ B、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ 且 $\vec{c} \neq \vec{0}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ C、若点G是 $△ A B C$ 的重心，则 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ D、若向量 $\vec{a} = (- 1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， 3)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\frac{\vec{a}}{2}$

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9. 有下列说法，其中正确的说法为（）

A、 $λ$ ， $μ$ 为实数，若 $λ \vec{a} = μ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线 B、若 $\vec{a} = (- 1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 2)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ C、两个非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，若 $| \vec{a} - \vec{b} | = | \vec{a} + \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直 D、若 $\vec{O A} + \vec{O C} + 3 \vec{O B} = \vec{0}$ ， $S_{△ A O C}$ ， $S_{△ A B C}$ 分别表示 $△ A O C$ ， $△ A B C$ 的面积，则 $S_{△ A O C} ： S_{△ A B C} = 3 ： 5$

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三、填空题

10. 已知平面向量 $\vec{a} = (5 ， 0)$ ， $\vec{b} = (\frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ ，常数 $k \in R$ ．向量 $\vec{c} = λ \cdot \vec{a} + (1 - λ) \cdot \vec{b} (λ \in R)$ ，且对任意 $λ \in R$ ，总有 $| \vec{c} + k \vec{a} | \geq 2 \sqrt{5}$ 成立，则实数 $k$ 的取值范围是

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11. 已知平面向量 $\vec{a} = (1 ， 2) ， \vec{b} = (2 ， - 1)$ ，若 $m \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 共线，则 $m$ 的值为．

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12. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个不共线的向量，若 $\vec{m} = \vec{a} - k \vec{b}$ 与 $\vec{n} = 2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ 共线，则实数k的值为.

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四、解答题

13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 6$ ，点 $D$ 是边 $B C$ 上一点，且 $A D ⊥ A B ， c o s ∠ C A D = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ， $\vec{A E} = 2 \vec{E B}$

(1)、求 $△ B C E$ 的面积；

(2)、求线段 $A D$ 的长.

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14. 如图，已知 $△ A B C$ 的外接圆 $O$ 的半径为4， $\vec{A O} = 2 \vec{A C} + \vec{A B}$ .

(1)、求 $△ A B C$ 中 $A C$ 边的长：

(2)、求 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ .

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15. 已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ = \frac{2 π}{3}$ ，且 $| \vec{a} | = 3$ ， $\vec{b}$ 是单位向量．

(1)、分别求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 和 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的值；

(2)、若 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 共线，求 $k$ ．

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16. 向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 能作为平面向量的一组基底.

(1)、若 $\vec{A B} = \vec{a} + 7 \vec{b}$ ， $\vec{B C} = \vec{3 a} + 4 \vec{b}$ ， $\vec{D C} = \vec{a} - 10 \vec{b}$ ，证明 $A ， B ， D$ 三点共线

(2)、若 $\vec{a} + k \vec{b}$ 与 $(k + 1) \vec{a} + \vec{b}$ 共线，求 $k$ 的值

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17. 已知 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 4$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ .

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、若 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 垂直，求 $θ$ .

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18. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (1 ， 1)$ ．

(1)、若 $| \vec{c} | = 2 \sqrt{2}$ ，且 $\vec{c} ⊥ \vec{b}$ ，求向量 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若 $\vec{A B} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{B C} = \vec{a} + m \vec{b}$ ，且 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线，求实数 $m$ 的值．

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19. 已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} ， k)$ ， $\vec{b} = (0 ， - 1)$ ， $\vec{c} = (1 ， \sqrt{3})$ ．

(1)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ，求 $k$ 的值；

(2)、当 $k = 1$ 时， $\vec{a} - λ \vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 共线，求 $λ$ 的值；

(3)、若 $∣ \vec{m} ∣ = \sqrt{3} ∣ \vec{b} ∣$ ，且 $\vec{m}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角为 $15 0^{∘}$ ，求 $∣ \vec{m} + 2 \vec{c} ∣$ ．

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20. 在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若 $\vec{A F} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D}$ .

(1)、求 $λ + μ$ 的值

(2)、若 $\vec{A C} = \vec{a}$ ， $\vec{B D} = \vec{b}$ ，试用基底 ${\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b}}$ 表示 $\vec{A F}$

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