高中数学三轮复习（直击痛点）：专题6极值点偏移问题

试卷更新日期：2024-01-27 类型：三轮冲刺

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一、选择题

1. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 2 a x^{2} + a^{2} x + 1$ 在 $x = 1$ 处有极小值，则 $a$ 的值为（）

A、1 B、3 C、1或3 D、 $- 1$ 或3

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2. 已知 $f (x) = | x e^{x} |$ ，关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) + t f (x) + 2 = 0$ ( $t \in R$ )有四个不同的实数根，则 $t$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - \frac{2 e^{2} + 1}{e})$ B、 $(\frac{2 e^{2} + 1}{e} ， + \infty)$ C、 $(- \frac{2 e^{2} + 1}{e} ， - 2)$ D、 $(2 ， \frac{2 e^{2} + 1}{e})$

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二、多项选择题

3. 设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数g（x）＝xf′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　）

A、f（x）有两个极值点 B、f（0）为函数的极大值 C、f（x）有两个极小值 D、f（－1）为f（x）的极小值

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4. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ 和 $g (x) = \frac{l n x}{x} + b$ 有相同的极大值，若存在 $x_{1} \in R ， x_{2} \in (0 ， + ∞)$ 使得 $f (x_{1}) = g (x_{2}) = k$ 成立，则（）

A、 $b = 0$ B、 $k \in (- ∞ ， \frac{1}{e})$ C、当 $k < 0$ 时， $x_{1} + x_{2} < 1$ D、若 $f (x) = k$ 的根记为 $x_{1} ， x_{2} ， g (x) = k$ 的根记为 $x_{3} ， x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $e^{x_{1} + x_{2}} = x_{3} \cdot x_{4}$

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5. 已知函数 $f (x) = \frac{l n x}{e_{}^{x}}$ 则下列说法正确的是（）

A、当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) < 0$ B、 $f (x)$ 有且仅有一个极值点 C、 $f (x)$ 有且仅有两个极值点 D、存在 $x_{0}^{}$ ，使得 $f (x_{0}^{}) = \frac{1}{e}$

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三、解答题

6. 已知函数 $f (x) = e^{x} ， g (x) = 2 \sqrt{x}$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线与 $g (x)$ 的图象切于点 $P$ ，求 $P$ 的坐标；

(2)、若函数 $F (x) = f (a x) (x^{2} - \frac{a + 2}{a})$ 的极小值小于零，求实数 $a$ 的取值范围．

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7. 已知函数 $f (x) = e^{x} + c o s x - \frac{1}{3} x^{3} - x$ .

(1)、当 $x \in [3 ， + \infty)$ 时，证明： $f (x) < f^{'} (x)$ .

(2)、试问 $x = 0$ 是否为 $f (x)$ 的极值点？说明你的理由.

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8. 函数 $f (x) = a x^{3} - 3 x (a \neq 0)$ ，其一条切线的方程为 $y = 9 x + 16$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、令 $g (x) = f (x) - 3 k x^{2} + 6 x + 1 (k > 0)$ ，若 $g (x)$ 有两个不同的极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $g (x_{1}) + g (x_{2}) \leq 2$ ，求实数 $k$ 的取值范围.

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9. 已知函数 $f (x) = a l n x + b x^{2} + x$ 在 $x = 1$ 处的切线方程 $6 x - y - 2 = 0$ ．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间与极小值．

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{a x}{e^{x}} - x + l n x$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、当 $a > 0$ 时，设 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，证明： $x_{1} x_{2} < 1$ ．

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11. 已知 $f (x) = a x^{2} - a x - \frac{1}{x} - l n x + e^{1 - x} (a > 0)$ ．

(1)、若当 $x = 1$ 时函数 $f (x)$ 取到极值，求 $a$ 的值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上的零点个数．

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12. 已知函数 $f (x) = l n (x + 1) - \frac{a x}{x + 1}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的值；

(3)、求证： $s i n \frac{1}{n + 1} + s i n \frac{1}{n + 2} + ⋯ + s i n \frac{1}{2 n} < l n 2 (n \in N^{*})$ .

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13. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - l n x - 1$ ．

(1)、设 $x = 2$ 是 $f (x)$ 的极值点．求 $a$ ，并求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、证明：当 $a \geq \frac{1}{e}$ 时， $f (x) \geq 0$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 4 (a - 1) l n (x + 1)$ ，其中实数 $a < 3$ .

(1)、判断 $x = 1$ 是否为函数 $f (x)$ 的极值点，并说明理由；

(2)、若 $f (x) \leq 0$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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15. 已知函数 $f (x) = a l n x - x + \frac{1}{x}$ ．

(1)、若 $\forall x \geq 1 ， f (x) \leq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(2)、证明：对任意 $n \in N^{*} ， e^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} - \frac{n}{2 (n + 1)}} > n + 1$ ；

(3)、讨论函数 $f (x)$ 零点的个数．

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16. 已知函数 $f (x) = a x - l n x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、证明：当 $0 < a < 1$ 时， $\exists x \in (0 ， + \infty)$ ，使得 $f (x) < 3 a - a^{2} - l n 2$ ．

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17. 已知函数 $f (x) = (k x + 1) l n x - k x$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增，求实数 $k$ 的取值范围；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的零点个数.

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18. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + φ)$ 和 $g (x) = c o s (2 x + φ) + 1 (0 < φ < π)$ 在 $x = \frac{π}{6}$ 处有相同的导数.

(1)、求 $φ$ ；

(2)、设 $x_{1}$ 是 $f (x)$ 的极大值点， $x_{2}$ 是 $g (x)$ 的极小值点，求 $f (x_{1} - x_{2})$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - l n x$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x)$ 的极值.

(2)、若方程 $f (x) = 1$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上有解，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = x l n x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(2)、若过点 $M (x_{0} ， f (x_{0})) (x_{0} > \frac{1}{e})$ 的切线 $l$ 分别交 $x$ 轴和 $y$ 轴于 $A ， B$ 两点， $O$ 为坐标原点，记 $△ A O B$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 最小值；

(3)、设函数 $g (x) = e^{λ x l n x} - f (x)$ ，且不等式 $g (x) \geq 1$ 对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，求实数 $λ$ 的值．

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