高中数学三轮复习（直击痛点）：专题5隐零点问题

试卷更新日期：2024-01-27 类型：三轮冲刺

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一、选择题

1. 若函数 $f (x) = \frac{1}{x} - \frac{m}{x^{2}} - \frac{x}{3} (x > 0)$ 有两个零点，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， \frac{2}{3})$ B、 $(0 ， \frac{2}{3})$ C、 ${\frac{2}{3}}$ D、 $(\frac{2}{3} ， + \infty)$

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二、多项选择题

2. 已知函数 $f (x) = x^{2} + x + \frac{3}{x} - m (m \in R)$ ，则（）

A、 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极值点 B、 $f (1)$ 是 $f (x)$ 的最小值 C、 $f (x)$ 最多有2个零点 D、 $f (x)$ 最少有1个零点

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3. 已知函数 $f (x) = x^{2} e^{x}$ ， $x \in R$ .下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 不存在最大值，也不存在最小值 B、函数 $f (x)$ 存在极大值和极小值 C、函数 $f (x)$ 有且只有1个零点 D、函数 $f (x)$ 的极小值就是 $f (x)$ 的最小值

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三、填空题

4. 已知函数 $f (x) = t (x^{3} + 4) - 3 x^{2}$ ，若 $f (x)$ 存在唯一的零点 $x_{0}$ ，则实数 $t$ 的取值范围是.

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5. 已知函数 $f (x) = x l n x + m x + 1$ 的零点恰好是 $f (x)$ 的极值点，则 $m =$ .

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四、解答题

6. 已知函数 $f (x) = e^{x} - 2 x$

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - a ， x \in [- 1 ， 1]$ 恰有 $2$ 个零点，求实数 $a$ 的取值范围

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7. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x} - a l n x (a > 0)$ .

(1)、若 $a = \frac{3}{2}$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个不相等的零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，极值点为 $x_{0}$ ，证明：
（i） $e < a < x_{0} < a + 1$

（ii） $x_{1} + x_{2} > 2 a$

注： $e$ 为自然对数的底数， $e = 2.71828 ⋯$ .

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8. 已知定义在R上的函数 $f (x) = - x^{2} + x | x - a |$ ，其中a为实数.

(1)、当 $a = 3$ 时，解不等式 $f (x) \geq - 2$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上有且仅有两个零点，求a的取值范围；

(3)、对于 $a \in [4 ， + \infty)$ ，若存在实数 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，满足 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = m$ ，求 $\frac{x_{1}^{2} + m x_{2}}{x_{1} x_{2}}$ 的取值范围.（结果用a表示）

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9. 已知函数 $f (x) = l n (x + 1) + \frac{4}{x + 2} - 2$ ．

(1)、证明：函数 $f (x)$ 有且只有一个零点；

(2)、设 $g (x) = f (x - 1) + \frac{2 x - 2 - a}{x + 1}$ ， $a \in R$ ，若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是函数 $g (x)$ 的两个极值点，求实数 $a$ 的取值范围，并证明 $g (x_{1}) + g (x_{2}) = 2 g (1)$ ．

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10. 已知函数 $f (x) = a l n x - \frac{x - 1}{x + 1}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间：

(2)、若 $g (x) = a (x^{2} - 1) l n x - {(x - 1)}^{2}$ （ $a \neq 0$ ）有3个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，其中 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ．求证： $(3 a - 1) (x_{1} + x_{3} + 2) < 2$ ．

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11. 已知 $x > 0$ ，记 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = x^{x}$ ， $h (x) = l n g (x)$ ．

(1)、试将 $y = f (x)$ 、 $y = g (x)$ 、 $y = h (x)$ 中的一个函数表示为另外两个函数复合而成的复合函数；

(2)、借助（1）的结果，求函数 $y = g (2 x)$ 的导函数和最小值；

(3)、记 $H (x) = \frac{f (x) - h (x)}{x} + x + a$ ， a是实常数，函数 $y = H (x)$ 的导函数是 $y^{'} = H^{'} (x)$ ．已知函数 $y = H (x) \cdot H^{'} (x)$ 有三个不相同的零点 $x_{1} 、 x_{2} 、 x_{3}$ ．求证： $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} < 1$ ．

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} + 2 l n x$ .

(1)、求函数 $g (x) = f (x) - x$ 的零点；

(2)、证明：对于任意的正实数k，存在 $x_{0} > 0$ ，当 $x \in (x_{0} ， + \infty)$ 时，恒有 $k \sqrt{x} > f (x)$ .

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13. 已知函数 $f (x) = s i n x - a x - 2 (a \in R)$

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，讨论 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的单调性；

(2)、若当 $x \geq 0$ 时， $f (x) + e^{x} + c o s x \geq 0$ ，求a的取值范围．

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14. 证明下面两题：

(1)、证明：当 $x > 1$ 时， $e^{x} > x^{2}$ ；

(2)、当 $0 < a < \frac{1}{e}$ 时，证明函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x}} + a (l n x - x)$ 有2个不同零点.

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15. 已知函数 $f (x) = x + k s i n x$ ，其中 $0 < k \leq 1$ ．

(1)、设函数 $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} - f (x)$ ，证明：
① $g (x)$ 有且仅有一个极小值点；
②记 $x_{0}$ 是 $g (x)$ 的唯一极小值点，则 $g (x_{0}) < - \frac{1}{2} x_{0}$ ；

(2)、若 $k = 1$ ，直线 $l$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切，且有无穷多个切点，求所有符合上述条件的直线 $l$ 的方程．

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16. 已知函数 $f (x) = 2 \ln x - a x + 1$

(1)、若 $f (x)$ 存在零点，求实数a的取值范围；

(2)、若 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的零点，求证： $\frac{3 x_{0} - 2}{x_{0}^{2}} \leq a < \frac{e^{x_{0}} - 1}{x_{0}^{2}} .$

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17. 已知函数 $f (x) = l n x - \frac{a (x + 1)}{x - 1}$

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，求 $a$ 的范围，并证明 $\frac{1}{l n x_{1} + a} + \frac{1}{l n x_{2} + a} < 0$

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{l n x}{x}$ 和 $g (x) = \frac{a x}{e^{x}}$ 有相同的最大值.

(1)、求 $a$ ，并说明函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 在（1，e）上有且仅有一个零点；

(2)、证明：存在直线 $y = b$ ，其与两条曲线 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.

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19. 已知函数 $f (x) = k e^{x} + x^{2} (k \in R)$ .

(1)、若 $f (x)$ 的图象在点 $(l n 2 ， f (l n 2))$ 处的切线斜率为 $l n \frac{3}{2}$ ，求 $k$ 的值；

(2)、当 $k < 0$ 时，判断 $f (x)$ 在 $(- ∞ ， 0)$ 内有几个零点，并证明.

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20. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a ， b ， c ， d \in R ， a \neq 0)$ 是奇函数，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程为 $9 x + 3 y - 16 = 0$ .

(1)、求 $f (x)$ 的零点；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(m ， 10 - m^{2})$ 内有最大值，求m的取值范围.

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