高中数学三轮复习（直击痛点）：专题4极限求解

试卷更新日期：2024-01-27 类型：三轮冲刺

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一、选择题

1. 已知f（x）是定义在R上的可导函数，若 $\lim_{∆ x \to 0} \frac{f (2) - f (2 - △ x)}{2 △ x} = \frac{1}{2}$ ，则f′（2）＝（）

A、﹣1 B、 $- \frac{1}{4}$ C、1 D、 $\frac{1}{4}$

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2. 已知函数 $f (x)$ 可导，且满足 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (3 - Δ x) - f (3)}{Δ x} = 2$ ，则函数 $y = f (x)$ 在x＝3处的导数为（）

A、2 B、1 C、－1 D、－2

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3. 若可导函数 $f (x)$ 满足 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (1 + Δ x) - f (1)}{Δ x} = 3$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 设函数 $f (x)$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $y = 4 x - 3$ ，则 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (1 + Δ x) - f (1)}{Δ x} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 设函数 $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 处附近有定义，且 $f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0}) = a Δ x + b {(Δ x)}^{2} ， a ， b$ 为常数，则（）

A、 $f^{'} (x) = a$ B、 $f^{'} (x) = b$ C、 $f^{'} (x_{0}) = a$ D、 $f^{'} (x_{0}) = b$

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{10 c o s x}{x}$ ，则其图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 函数 $F (x) = \frac{t a n x}{x}$ 的大致图象是（）
参考公式：对于函数 $f (x) ， g (x)$ ，若 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在 $x = a$ 处可导，且 $f (a) = g (a) = 0$ ，则 $\underset{x \to a}{l i m} \frac{f (x)}{g (x)} = \underset{x \to a}{l i m} \frac{f^{^{'}} (x)}{g^{^{'}} (x)}$ ．

A、 B、 C、 D、

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8. 若过点 $P (t ， 0)$ 可以作曲线 $y = (1 - x) e^{x}$ 的两条切线，切点分别为 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ ，则 $y_{1} y_{2}$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 4 e^{- 3})$ B、 $(- ∞ ， 0) \cup (0 ， 4 e^{- 3})$ C、 $(- ∞ ， 4 e^{- 2})$ D、 $(- ∞ ， 0) \cup (0 ， 4 e^{- 2})$

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二、多项选择题

9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{2}{e^{x}} ， x > 0 \\ 2 x^{3} - m x - 3 ， x \leq 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - 1$ 恰有3个零点，则实数 $m$ 的值可以为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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10. 已知 $x > 0 ， y > 0$ ，且 $x^{3} + y^{3} = x - y$ ，则（）

A、 $x + y \geq \sqrt{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} - 1$ B、 $x + y \leq \sqrt{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}$ C、 $x^{2} + y^{2} < 1$ D、 $x^{2} + y^{2} > \frac{1}{2}$

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三、填空题

11. $\sum_{i = 1}^{+ \infty} {(\frac{1}{2})}^{i - 1} =$ .

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12. 已知函数 $f (x) = - a s i n x$ ，且 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (π + Δ x) - f (π)}{Δ x} = 2$ ，则实数a的值为．

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四、解答题

13. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 是递增数列，记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $a_{1} = 1$ ，且 $a_{2}$ ， $S_{3}$ ， $a_{14}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求证 $T_{n} < \frac{1}{2}$ .

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14. 已知函数 $f (x) = x (t - l n x)$ ， $t \in R$

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $t = 1$ 时，设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 为两个不相等的正数，且 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = a$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > a (2 - e) + e - \frac{1}{e}$ .

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15. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a l n x (a > 0)$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求曲线在 $x = 2$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 恰有两个零点，求a的取值范围.

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16. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a x l n x - 1$ ， $a \in R$ ．

(1)、求证： $f (x) + x^{2} f (\frac{1}{x}) = 0$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 有三个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ．
（ⅰ）求a的取值范围；

（ⅱ）求证： $x_{1} + x_{3} > 2 a - 2$ ．

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17. 已知函数 $f (x) = e^{x - 1} - l n x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - a (x - 1) ， a \in R$ ，求 $g (x)$ 的极小值的最大值．

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18. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - a x (a \in R)$ ．

(1)、若 $y = f (x)$ 在R上是增函数，求实数a的取值范围；

(2)、当 $a = 1$ 时，判断0是否为函数 $f (x)$ 的极值点，并说明理由；

(3)、若存在三个实数 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，满足 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3})$ ，求实数a的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = x (l n x - \frac{1}{2} x - 1)$ ， $h (x) = (a - 3) x + (1 - a + x) l n x - 1$ .

(1)、 $F (x) = \frac{f (x)}{x}$ ，求 $F (x)$ 的最值；

(2)、若函数 $g (x) = h (x) - f (x)$ 恰有两个不同的零点，求 $a$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - l n (x + 2) + l n a - 2$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 2023$ 处取得极值，求 $a$ 的值及函数的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围．

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