2023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 30.5 二次函数与一元二次方程的关系同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-01-27 类型：同步测试

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一、选择题

1. 若函数 $y = (m - 3) x^{2} - 4 x + 2$ 的图象与 $x$ 轴只有一个交点，则 $m$ 的值是（）

A、 $3$ 或 $5$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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2. 如图，二次函数y＝ax²+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（）

A、c＜0 B、b²-4ac＜0 C、a-b+c＜0 D、图象的对称轴是直线x＝3

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3. 如图，抛物线 $y = (1 - x) (x + 3)$ 与x轴负半轴，y轴分别交于点A ， B ，现要在 $A B$ 段的抛物线上找点 $P (m ， n)$ ，关于针对n的不同取值，所找点P的个数，甲、乙两人的说法如下，下列判断正确的是（）
甲：若 $n = 4$ ，则点P的个数为2；乙：若 $0 < n < 3$ ，则点P的个数为1

A、只有甲对 B、只有乙对 C、甲、乙都对 D、甲、乙都不对

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4. 题目：“如图，抛物线 $y = x^{2} + m x$ 与直线 $y = - x + b$ 相交于点 $A (2 ， 0)$ 和点B.点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标 $x_{M}$ 的取值范围.”对于其答案，甲答： $x_{M} = 3$ ，乙答： $- 1 \leq x_{M} < 2$ ，丙答： $- 1 < x_{M} \leq 2$ ，丁答： $- 1 \leq x_{M} \leq 2$ ，则正确的是（）

A、只有甲答的对 B、甲、乙答案合在一起才完整 C、甲、丙答案合在一起才完整 D、甲、丁答案合在一起才完整

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5. 二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　）

A、b²﹣4ac＞0 B、a＞0 C、c＞0 D、 $- \frac{b}{2 a} < 0$

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6. 已知多项式 $M ═ x^{2} - 3 x - 2$ ， $N = x^{2} - a x + 3$ 下列说法正确的个数为（）
$①$ 若 $M = 0$ ，则代数式 $\frac{13 x}{x^{2} - 3 x - 1}$ 的值为 $\frac{26}{3}$ ； $②$ 当 $a = - 3$ 时，代数式 $M - N$ 的最小值为 $- 14$ ； $③$ 当 $a = 3$ 时，若 $| M - 2 N + 2 | + | M - 2 N + 15 | = 13$ ，则 $x$ 的取值范围是 $- \frac{7}{3} < x < 2$ ．

A、 $0$ 个 B、 $1$ 个 C、 $2$ 个 D、 $3$ 个

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7. 如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A(-1，0)，顶点坐标为(1，n)，与y轴的交点在(0，1)，(0，3)之间(包含端点)．现有下列结论：
①当x<-1时，y<0；
②3a +b+2c>0；
③-1≤a≤ $- \frac{1}{3}$
④3≤n≤4．
其中正确的有（）．

A、①③ B、②③ C、①②③ D、①②④

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8. 如图所示，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于A，B两点，与 $y$ 轴正半轴交于点 $C$ ，它的对称轴为直线 $x = - 1$ .下列选项中，正确的是（）.

A、 $a b c < 0$ B、 $4 a c - b^{2} > 0$ C、 $c - a > 0$ D、当 $x = - n^{2} - 2$ ( $n$ 为实数)时， $y ⩾ c$

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二、填空题

9. 若函数y＝ax²﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么那么a的值是．

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10. 如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是

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11. 如图，抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} - 4$ 与x轴交于A ， B两点，P是以点 $C (0 ， 3)$ 为圆心，2cm为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ ，则线段OQ的最大值是.

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12. 抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标为-5和1，则方程ax²－bx＋c=0的解为．

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13. 如图，抛物线 $y = x^{2} - 6 x + 5$ 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点 $D (2 ， m)$ 在抛物线上，点E在直线 $B C$ 上，若 $∠ D E B = 2 ∠ D C B$ ，则点E的坐标是．

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三、解答题

14. 如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（－1，0）和B（m ， 0），与y轴相交于点C ，且经过点D（3，3），过点D作DE⊥BD ，交y轴于点E ，连结BE ．

(1)、当m＝6时，求这个二次函数的表达式．

(2)、试用含m的代数式表示点C的坐标．

(3)、作点D关于BE的对称点D′ ，连结OD′ ， ED′ ．当△OD′E的面积等于1时，请直接写出m的值．

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15. 如图．取某一位置的水平线为x轴．建立平面直角坐标系后，小山坡AB可近似地看成抛物线 $L_{1}$ ： $y = - \frac{1}{12} x^{2} + \frac{7}{6} x + 1$ 的一部分．小球在离点A3m的点C处抛出．落在山坡的点D处（点D在小山坡AB的坡顶的右侧），小球的运动轨迹为抛物线 $L_{2}$ ： $y = - \frac{1}{8} x^{2} + b x + c$ 的一部分．

(1)、求小山坡AB的坡顶高度；

(2)、若测得点D的高度为3m，求抛物线 $L_{2}$ 的函数解析式（不要求写自变量x的取值范围）；

(3)、当小球运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，请直接写出b的取值范围．

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四、综合题

16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点B坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，且 $O A = O C = 4 O B$ ，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图像经过A ， B ， C三点．

(1)、求A ， C两点的坐标；

(2)、求抛物线解析式；

(3)、若点P是直线 $A C$ 下方的抛物线上的一个动点，作 $P D ⊥ A C$ 于点D ，当 $P D$ 的值最大时，求此时点P的坐标及 $P D$ 的最大值．

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17. 如图，已知抛物线 $y = - \frac{1}{4} (x - 3)^{2} + \frac{25}{4}$ 与 $x$ 轴相交于 $A 、 B$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C$ 。

(1)、求出 $A 、 B$ 两点的坐标。

(2)、求点 $C$ 的坐标，连接 $A C 、 B C$ 并求线段 $B C$ 所在直线的解析式；

(3)、在抛物线的对称轴上是否存在点 $Q$ ，使 $△ A C Q$ 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的 $Q$ 点坐标；若不存在，请说明理由．

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