2023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-01-27 类型：同步测试

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一、选择题

1. 若二次函数y＝ax²（a≠0）的图象过点（﹣2，﹣3），则必在该图象上的点还有（）

A、（﹣3，﹣2） B、（2，3） C、（2，﹣3） D、（﹣2，3）

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2. 若二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（　　）

A、y=﹣（x﹣2）²﹣1 B、y=﹣ $\frac{1}{2}$ （x﹣2）²﹣1 C、y=（x﹣2）²﹣1 D、y= $\frac{1}{2}$ （x﹣2）²﹣1

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3. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ ，其中y与x的部分对应值如下表.
$x$
…
0
1
2
3
4
5
…
$y$
…
$- 3$
$- 4$
$- 3$
0
5
12
…
则下列结论中正确的是（）

A、 $a b c < 0$ B、 $\frac{b}{2 a} = 1$ C、 $4 a + 2 b + c > 0$ D、方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个根分别是 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 3$

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4. 某同学在用描点法画二次函数y＝ax²+bx+c的图象时，列出了下面的表格：
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
-1
0
-3
-4
-3
…
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（　　）

A、-1 B、-3 C、0 D、-4

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5. 如图，已知点 $A (\sqrt{3} ， 2)$ ， $B (0 ， 1)$ ，射线 $A B$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $30 °$ ，与 $x$ 轴交于点 $C$ ，则过 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点的二次函数 $y = a x^{2} + b x + 1$ 中 $a$ 的值为（）

A、 $a = \frac{1}{2}$ B、 $a = 2$ C、 $a = 3$ D、 $a = - \frac{1}{3}$

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6. 如图所示，在OABC中，AB=AC，动点D在折线段BAC上沿B→A→C方向以每秒1个单位的速度运动，过D垂直于BC的直线交BC边于点E.如果AB=5，BC=8，点D运动的时间为0秒，△BDE 的面积为S，则s关于t的函数图象的大致形状是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 抛物线y=x²﹣6x+5的顶点坐标为（　　）

A、（3，﹣4） B、（3，4） C、（﹣3，﹣4） D、（﹣3，4）

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8.
如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax²（a＜0）的图象上，则a的值为（　　）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、-2 C、- $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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二、填空题

9. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴为直线 $x = 2$ ，且经过点 $(1 ， 1)$ ，则当 $x = 3$ 时， $y =$ ．

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10. 如图，抛物线y＝ax²+1（a＜0）与过点（0，﹣3）且平行于x轴的直线相交于点A、B ，与y轴交于点C ，若∠ACB为直角，则a＝．

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11. 已知二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + 3 ($ 其中 $a$ 是常数，且 $a \neq 0)$ ．

(1)、若该函数的图象经过点 $(- 1 ， - 9)$ ，则 $a$ 的值为；

(2)、若 $a < 0$ 且当 $0 < x < 3$ 时对应的函数值 $y$ 均为正数，则 $a$ 的取值范围为．

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12. 如图，将矩形OABC置于平面直角坐标系xOy中， $A (2 \sqrt{3} ， 0)$ ， $C (0 ， 2)$ .抛物线y＝﹣x²+bx+c经过点B，C，顶点为D.将矩形OABC绕原点顺时针旋转一个角度θ（0°＜θ＜360°），得到矩形OA'B'C'，记A'C'的中点E，连结DE，线段DE的长度最大值为 .

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13. 如图，一组x轴正半轴上的点 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ，… $B_{n}$ 满足条件 $O B_{1} = B_{1} B_{2} = B_{2} B_{3} \dots = B_{n - 1} B_{n} = 2$ ，抛物线的顶点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，… $A_{n}$ 依次是反比例函数 $y = \frac{9}{x}$ 图象上的点，第一条抛物线以 $A_{1}$ 为顶点且过点O和 $B_{1}$ ；第二条抛物线以 $A_{2}$ 为顶点且经过点 $B_{1}$ 和 $B_{2}$ ；……第n条抛物线以 $A_{n}$ 为顶点且经过点 $B_{n - 1}$ ， $B_{n}$ ，依次连结抛物线的顶点和与x轴的两个交点，形成 $Δ O A_{1} B_{1}$ 、 $Δ B_{1} A_{2} B_{2}$ 、…、 $Δ B_{n - 1} A_{n} B_{n}$ .

(1)、请写出所有满足三角形面积为整数的n的值；

(2)、若三角形是一个直角三角形，它相对应的抛物线的函数表达式为.

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三、解答题

14. 已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， 3)$ ，顶点为 $T$ ，与直线 $y = k x - 1$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，其中点 $A$ 坐标为 $(1 ， 0)$ ．

(1)、求抛物线和直线解析式；

(2)、直接写出抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 关于 $x = - 1$ 对称的抛物线的解析式；

(3)、求 $△ A B T$ 的面积．

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15. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 $y = a x^{2} - 2 a^{2} x - 3 (a \neq 0)$ 与y轴交于点A ，与直线 $x = - 4$ 交于点B.

(1)、若 $A B ∥ x$ 轴，求抛物线的解析式；

(2)、记抛物线在A ， B之间的部分为图象G（包含A ， B两点），若对于图象G上任意一点 $P (x_{P} ， y_{P})$ ，都有 $y_{P} \geq - 3$ ，求a的取值范围.

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四、综合题

16.
在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）经过点A（-1，0）和B（0，3），其顶点的横坐标为1．

(1)、求抛物线的表达式．

(2)、若直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得AN+MN有最大值，并求出最大值．

(3)、若点P为抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M，是否能与A、P、Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由．

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17. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3 \sqrt{3}$ 交x轴于 $A (- 3 ， 0) ， B (9 ， 0)$ 两点，交y轴于点C ，点P是抛物线上一动点，连接 $A C ， B C$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使 $| B Q - C Q |$ 最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、连接 $C P ， B P$ ，若 $S_{△ B C P} = \frac{9}{4} S_{△ A O C}$ ，求点P的坐标．

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$x$	…	0	1	2	3	4	5	…
$y$	…	$- 3$	$- 4$	$- 3$	0	5	12	…

x	…	-2	-1	0	1	2	…
y	…	-1	0	-3	-4	-3	…