2023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数同步分层训练基础题

试卷更新日期：2024-01-27 类型：同步测试

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一、选择题

1. 若抛物线 $y = 2 {(x - m - 1)}^{2} + 2 m + 4$ 的顶点在第二象限，则m的取值范围是（）

A、 $m > 1$ B、 $m < 2$ C、 $1 < m < 2$ D、 $- 2 < m < - 1$

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2. 某二次函数的图象的顶点为(-2，-2)，且经过原点，则这个二次函数的表达式是（）．

A、y= $\frac{1}{2}$ (x+2)²-2 B、y= $\frac{1}{2}$ (x-2)²-2 C、y=2(x+2)²-2 D、y=2(x-2)²-2

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3. 二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象的最高点是 $(- 1 ， - 3)$ ，则 $b$ ， $c$ 的值分别是（）

A、 $2$ ， $4$ B、 $2$ ， $- 4$ C、 $- 2$ ， $4$ D、 $- 2$ ， $- 4$

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4. 将二次函数 $y = x^{2} - 2 x + 3$ 配方为 $y = {(x - h)}^{2} + k$ 的形式为（　　）

A、 $y = {(x - 1)}^{2} + 1$ B、 $y = {(x - 1)}^{2} + 2$ C、 $y = {(x - 2)}^{2} - 3$ D、 $y = {(x - 2)}^{2} - 1$

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5. 二次函数y=2x²-6x-9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）

A、6，2，9 B、2，-6，9 C、2，6，9 D、2，-6，-9

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6. 若二次函数 $y = (a - 1) x^{2} + 3 x + a^{2} - 1$ 的图象经过原点，则 $a$ 的值必为（）

A、 $1$ 或 $- 1$ B、 $1$ C、 $- 1$ D、 $0$

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7. 设函数 $y = a (x - h)^{2} + k (a ， h ， k$ 是实数， $a \neq 0)$ ，当 $x = 1$ 时， $y = 1$ ；当 $x = 8$ 时， $y = 8$ .据此可知（）.

A、若 $h = 4$ ，则 $a < 0$ B、若 $h = 5$ ，则 $a > 0$ C、若 $h = 6$ ，则 $a < 0$ D、若 $h = 7$ ，则 $a > 0$

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8. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，有下列5个结论：① $a b c > 0$ ；② $b < a + c$ ；③ $4 a + 2 b + c > 0$ ；④ $2 c < 3 b$ ； ⑤ $a + b > m (a m + b)$ ，（ $m \neq 1$ 的实数）其中正确的结论有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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二、填空题

9. 二次函数 $y = - x^{2} + 6 x + 3$ 的图象的顶点为．

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10. 若函数 $y = a (x - 3)^{2}$ 过 $(2 ， 9)$ 点，求当 $x = 4$ 时， $y$ 的值是．

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11. 我们已学过用待定系数法求一次函数的表达式．类似地，我们也可以用待定系数法求二次函数y=ax²+bx+c的表达式．当需要确定的系数有3个时，需要将3对自变量和函数的对应值代入表达式，获取三元一次方程组．而当其中一个系数已知时，只需要将对自变量与函数的对应值代入表达式，获取方程组求解．

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12. 将二次函数y＝x²－2x化为y＝(x－h)²＋k的形式，结果为

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13. 已知某函数的图象过 $A (2 ， - 1)$ ， $B (4 ， 1)$ 两点，下面有四个推断：
$①$ 若此函数的图象为直线，则此函数的图象经过 $(0 ， - 3)$ ；
$②$ 若此函数的图象为抛物线，且经过 $(1 ， - 0.5)$ ，则该抛物线开口向下；
$③$ 若此函数的解析式为 $y = a (x - h)^{2} + k (a \neq 0)$ ，且经过原点，则 $0 < h < 1$ ；
$④$ 若此函数的解析式为 $y = a (x - h)^{2} + k (a \neq 0)$ ，开口向下，且 $2 < h < 4$ ，则 $a$ 的范围是 $a < - \frac{1}{2}$ ．
所有合理推断的序号是．

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三、解答题

14. 如图，已知二次函数y＝ax²+2x+c的图象经过A（1，4），C（0，3）．

(1)、求该二次函数的解析式．

(2)、结合函数图象直接写出：
①当﹣1＜x＜2时，y的取值范围．②当y≤3时，x的取值范围．

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15. 阅读思考，并解答下列问题：
在2022年北京冬季奥林匹克运动会上，一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位： $m$ ）与滑行时间t（单位： $s$ ）之间的关系式，测得一组数据(如下表)．
滑行时间 $t / s$
0
1
2
3
4
滑行距离 $s / m$
0
$4.5$
14
$28.5$
48

(1)、为观察s与t之间的关系，建立坐标系，以t为横坐标，s为纵坐标．如图，请描出表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们；

(2)、观察图象，可以看出这条曲线像是我们学过的哪种函数的图象的一部分？请你推测滑行距离与滑行时间的关系，并用该函数模型来近似地表示s与t之间的关系；

(3)、如果该滑雪者滑行了 $270 m$ ，请你用（2）中的函数模型推测他滑行的时间是多少秒？（参考数据： $10 4^{2} = 10816$ ）

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四、综合题

16. 已知直线 $y = k x + b$ 经过点 $A (2 ， 0)$ ，且与抛物线 $y = a x^{2} (a \neq 0)$ 相交于B，C $(- 2 ， 4)$ 两点.

(1)、求直线和抛物线的函数表达式.

(2)、在同一平面直角坐标系中画出它们的图象.

(3)、求 $△ A O C$ 的面积.

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17. 如图所示，抛物线 $y = a (x + 1)^{2}$ 的顶点 $A$ 与 $y$ 轴的负半轴交于点 $B$ ，且OB $= O A$ .

(1)、求抛物线的函数表达式.

(2)、若点 $C (- 3 ， b)$ 在抛物线上，求 $S_{△ A B C}$ 的值.

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滑行时间 $t / s$	0	1	2	3	4
滑行距离 $s / m$	0	$4.5$	14	$28.5$	48