2023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 30.2 二次函数的图像与性质同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-01-27 类型：同步测试

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一、选择题

1. 将 $y = x^{2} - 4 x - 4$ 向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线为（）

A、 $y = {(x + 1)}^{2} - 13$ B、 $y = {(x - 5)}^{2} - 5$ C、 $y = {(x - 5)}^{2} - 13$ D、 $y = {(x + 1)}^{2} - 5$

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2. 在抛物线y＝a（x﹣m﹣1）²+c（a≠0）和直线y＝﹣ $\frac{1}{2}$ x的图象上有三点（x₁ ， m）、（x₂ ， m）、（x₃ ， m），则x₁+x₂+x₃的结果是（）

A、 $- \frac{3}{2} m + \frac{1}{2}$ B、0 C、1 D、2

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3. 已知二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（　　）

A、ac＞0 B、当x＞﹣1时，y＞0 C、b＝2a D、9a+3b+c＝0

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4. 抛物线y＝ $\frac{1}{2}$ x²向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（）

A、y＝ $\frac{1}{2}$ （x+1）²﹣2 B、y＝ $\frac{1}{2}$ （x﹣1）²+2 C、y＝ $\frac{1}{2}$ （x﹣1）²﹣2 D、y＝ $\frac{1}{2}$ （x+1）²+2

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5. 已知二次函数y=ax²+bx+c（a、b、c都是常数，且a≠0）的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x₁ ， 0），且1＜x₁＜2，与y轴交于正半轴，且交点在（0，2）的下方，下列结论①4a﹣2b+c=0； ②a＜b＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＞0．其中正确结论的个数是（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=2 cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动.若点P，Q均以1 cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（）

A、20 cm B、18 cm C、2 $\sqrt{5}$ cm D、3 $\sqrt{2}$ cm

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二、填空题

7. 将抛物线 $y = 2 (x + 4)^{2}$ 向右平移3个单位，得到新抛物线的表达式是．

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8. 若抛物线 $y = {(x - 1)}^{2} + 4$ 向下平移 $n$ 个单位长度后，其顶点仍在第一象限，写出一个符合条件的 $n$ 的正整数值．

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9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为 $(1 ， 1)$ 、 $(1 ， 4)$ 、 $(4 ， 4)$ .若抛物线 $y = a x^{2}$ 的图象与正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是.

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5 ， B C = 4 \sqrt{5} ， D$ 为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则 $△ A B C$ 的面积是， $△ B D E$ 面积的最大值为.

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11. 如图是二次函数y＝ax²+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x＝-1，且过点（-3，0），有以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③a-b≤m（am+b）（m为任意实数）；④若方程a（x+3）（1-x）＝-1的两根为x₁ ， x₂ ，且x₁＜x₂ ，则-3＜x₁＜x₂＜1，其中说法正确的有．

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三、解答题

12. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于两点 $A (- 3 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， 4)$ ．

(1)、求此抛物线的解析式；

(2)、已知抛物线上有一点 $P (x_{0} ， y_{0})$ ，其中 $y_{0} < 0$ ，若 $∠ C A O + ∠ A B P = 90 °$ ，求 $x_{0}$ 的值；

(3)、若点 $D$ ， $E$ 分别是线段 $A C$ ， $A B$ 上的动点，且 $A E = 2 C D$ ，求 $C E + 2 B D$ 的最小值．

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13. 在平面直角坐标系中，我们将形如 $(1 ， - 1)$ ， $(- 2.1 ， 2.1)$ 这样，纵坐标与横坐标互为相反数的点称之为“互补点”．

(1)、直线 $y = 2 x - 3$ 上的“互补点”的坐标为；

(2)、直线 $y = k x + 2 (k \neq 0)$ 上是否有“互补点”，若有，请求出点的坐标，若没有请说明理由；

(3)、若函数 $y = \frac{1}{4} x^{2} + (n - k - 1) x + m + k - 2$ 的图象上存在唯一的一个“互补点”，且当 $- 1 \leq n \leq 2$ 时， $m$ 的最小值为 $k$ ，求 $k$ 的值．

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四、综合题

14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 4$ 与x轴交于 $A (- 2 ， 0)$ ， $B$ 两点，其对称轴直线 $x = 2$ 与x轴交于点 D．

(1)、求该抛物线的函数表达式；

(2)、如图1，点 $P$ 为抛物线上第四象限内的一动点，连接 $C D$ ， $P B$ ， $P C$ ，求四边形 $B D C P$ 面积的最大值和此时点 $P$ 的坐标；

(3)、如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线 $y^{'}$ ，当抛物线 $y^{'}$ 经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E，点F为抛物线 $y^{'}$ 对称轴上的一点，点M是平面内一点，若以点A，E，F，M为顶点的四边形是以 $A E$ 为边的菱形，请直接写出满足条件的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．

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15. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ 与 $x$ 轴相交于点 $A (x_{1} ， 0)$ ， $B (x_{2} ， 0) (x_{1} < x_{2})$ ，且 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 的两个实数根，点 $C$ 为抛物线与 $y$ 轴的交点．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、分别求出直线 $A C$ 和 $B C$ 的解析式；

(3)、若动直线 $y = m (0 < m < 2)$ 与线段 $A C$ ， $B C$ 分别相交于 $D$ ， $E$ 两点，则在 $x$ 轴上是否存在点 $P$ ，使得 $△ D E P$ 为等腰直角三角形？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由．

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