2023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 30.2 二次函数的图像与性质同步分层训练基础题

试卷更新日期：2024-01-27 类型：同步测试

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一、选择题

1. 将抛物线 $y = x^{2} - 2 x + 3$ 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到抛物线的解析式为（）

A、 $y = {(x - 1)}^{2} + 5$ B、 $y = {(x - 3)}^{2} + 5$ C、 $y = {(x + 2)}^{2} + 6$ D、 $y = {(x - 4)}^{2} + 6$

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2. 已知抛物线 $y = a x^{2}$ （ $a > 0$ ）过 $A (- 2 ， y_{1})$ ， $B (1 ， y_{2})$ 两点，则下列关系式一定正确的是（）

A、 $y_{1} > 0 > y_{2}$ B、 $y_{2} > 0 > y_{1}$ C、 $y_{1} > y_{2} > 0$ D、 $y_{2} > y_{1} > 0$

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3. 抛物线 $y = {(x - 1)}^{2}$ 可由抛物线 $y = x^{2}$ 经过怎样的平移得到（）

A、向上平移1个单位 B、向下平移1个单位 C、向左平移1个单位 D、向右平移1个单位

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4. 若一次函数y＝（n+1）x+n的图象过第一、三、四象限，则函数y＝nx²﹣nx（）

A、有最大值 $\frac{n}{4}$ B、有最大值 $- \frac{n}{4}$ C、有最小值 $\frac{n}{4}$ D、有最小值 $- \frac{n}{4}$

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5. 在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x²+4x﹣3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象的顶点坐标是（）

A、（﹣3，﹣6） B、（1，﹣4） C、（1，﹣6） D、（﹣3，﹣4）

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6. 已知点A(a，b)，B(4，c)在直线y=kx+3(k为常数，k≠0)上，若ab的最大值为9，则c的值为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、2 C、 $\frac{3}{2}$ D、1

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7. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和y＝-ax²+2x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 把抛物线y＝（x﹣1）²+2沿x轴向右平移2个单位后，再沿y轴向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为（　　）

A、y＝（x﹣3）²+1 B、y＝（x+1）²﹣1 C、y＝（x﹣3）²﹣1 D、y＝（x+1）²﹣2

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二、填空题

9. 二次函数 $y = x^{2} - 4 x$ 的最小值为．

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10. 抛物线的函数表达式为 $y = 3 (x - 1)^{2} + 1$ ，若将 $x$ 轴向下平移1个单位长度，将 $y$ 轴向左平移2个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为.

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11. 若二次函数 $y = (2 a - 6) x^{2} + 4$ 的图象开口向下，则 $a$ 的取值范围是．

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12. 已知y＝2x﹣1，且0≤x≤ $\frac{1}{2}$ ，若S＝xy ，则S的最小值为．

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13. 如图，Rt△OAB的顶点A（﹣4，8）在抛物线y=ax²上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为

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三、解答题

14. 在平面直角坐标系xOy中，有抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3 (a \neq 0)$ .

(1)、若点 $(2 ， 3)$ 在抛物线上，
①求抛物线的对称轴；
②若点 $(x_{1} ， 6) ， (x_{2} ， - 3)$ 也在抛物线上，求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = - 1$ 时，有已知点 $A (b ， 2) ， B (- b ， 4 b - 3)$ ，若抛物线与线段AB只有一个公共点，结合函数图象，求 $b$ 的取值范围.

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15. 如图，某单位拟在一块空地上修建矩形植物园ABCD，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过16米，另外三边由36米长的栅栏围成，设矩形ABCD中，垂直于墙的边 $A B = x$ 米，面积为y平方米.

(1)、y与x之间的函数关系式为，自变量x的取值范围为；

(2)、若矩形ABCD的面积为154平方米，求x的值；

(3)、当矩形ABCD的面积最大时，利用的墙长是多少米？并求此时的最大面积.

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四、综合题

16. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F，G，H四点依次是边AB，BC，CD，DA上一点（不与各顶点重合），且AE＝AH＝CG＝CF，记四边形EFGH面积为S（图中阴影），AE＝x．

(1)、求S关于x的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围．

(2)、求x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值．

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17. 如图，正方形纸片 $A B C D$ 的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形 $E F G H$ ．设 $A E$ 的长为 $x$ ，四边形 $E F G H$ 的面积为 $y$ ．

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式；

(2)、当 $A E$ 取何值时，四边形 $E F G H$ 的面积为10？

(3)、四边形 $E F G H$ 的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

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