2023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 29.5 正多边形与圆同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-01-27 类型：同步测试

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一、选择题

1. 正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是（　　）

A、60° B、120° C、60°或120° D、30°或150°

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2. 如图，⊙O的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（　　）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $6 \sqrt{3}$ D、 $12 \sqrt{3}$

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3. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM和 $\overset{⏜}{B C}$ 的长分别为（）

A、 $\frac{3}{2}$ ， π B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ， π C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ， $\frac{2 π}{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$ ， 2π

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4. 如图所示，正五边形ABCDE内接于 $⊙ O ， M$ 为BC的中点， $N$ 为DE的中点，则 $∠ M O N$ 的大小为（）.

A、 $10 8^{°}$ B、 $14 4^{°}$ C、 $15 0^{°}$ D、 $16 6^{°}$

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5. 如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF ， BD分别交AC于点G ， H ，若该圆的半径为12，则线段GH的长为（）

A、6 B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $5 \sqrt{2}$ D、8

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6. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，正方形PQRS的顶点S，R在⊙O上，则S_正方形_PQRS：S_正方形_ABCD等于( )．

A、1 ：2 B、1：3 C、2：3 D、2：5

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7. 如图， $⊙ O$ 半径为 $\sqrt{2}$ ，正方形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，点E在 $\overset{⌢}{A D C}$ 上运动，连接 $B E ，$ 作 $A F ⊥ B E$ ，垂足为F，连接 $C F$ .则 $C F$ 长的最小值为（）

A、 $\sqrt{5} - 1$ B、1 C、 $\sqrt{2} - 1$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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8. 如图，将 $⊙ O$ 的圆周分成五等分（分点为A、B、C、D、E），依次隔一个分点相连，即成一个正五角星形.小张在制图过程中，惊讶于图形的奇妙，于是对图形展开了研究，得到：点M是线段AD、BE的黄金分割点，也是线段NE、AH的黄金分割点.在以下结论中，不正确的是（）

A、 $\frac{M N}{A M} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{F D}{A D} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $B N = N M = M E$ D、 $∠ A = 36 °$

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二、填空题

9. 如图，正五边形 $A B C D E$ 内接于 $⊙ O$ ，F是 $\overset{⌢}{C D}$ 的中点，则 $∠ C B F$ 的度数为.

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10. 如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD=5 $\sqrt{2}$ cm，则⊙O的半径R为

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11. 同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距(内接圆的圆心到正多边形的边的距离)之比为.

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12. 如图，边长为6的正方形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，点E是 $\overset{⌢}{A B}$ 上的一动点（不与A ， B重合，点F是 $\overset{⌢}{B C}$ 上的一点，连接 $O E ， O F$ ，分别与 $A B ， B C$ 交于点G ， H ，且 $∠ E O F = 90 °$ ，有以下结论：① $O G = O H$ ；② $△ G B H$ 周长的最小值为 $6 + 2 \sqrt{2}$ ；③随着点E位置的变化，四边形 $O G B H$ 的面积始终为9.其中正确的是.（填序号）

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13. 我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．若设⊙O的半径为R ，圆内接正n边形的边长、面积分别为a_n ， S_n ，圆内接正2n边形边长、面积分别为a_2n ， S_2n ．刘徽用以下公式求出a_2n和S_2n ． $a_{2 n} = \sqrt{{(\frac{1}{2} a_{n})}^{2} + {(R - \sqrt{R^{2} - {(\frac{1}{2} a_{n})}^{2}})}^{2}}$ ， $S_{2 n} = \frac{1}{2} n a_{n} R$ ．如图，若⊙O的半径为1，则⊙O的内接正八边形AEBFCGDH的面积为．

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三、解答题

14. 一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式各剪得一个正方形，边长都为1，求扇形纸板和圆形纸板的面积比.

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15. 如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧 $\overset{⌢}{C D}$ 上（不与C点重合）．

(1)、求∠BPC的度数；

(2)、若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．

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四、综合题

16. 如图，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （k＞0，x＞0）的图象上边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD＝4.

(1)、点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由.

(2)、若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标；

(3)、平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程.

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17. 阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．
黄金三角形与五角星
当等腰三角形的顶角为36°（或108°）时，它的底与腰的比（或腰与底的比）为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，我们把这样的三角形叫做黄金三角形．
按下面的步骤画一个五角星（如图）：
①作一个以AB为直径的圆，圆心为O；
②过圆心O作半径OC⊥AB；
③取OC的中点D，连接AD；
④以D为圆心OD为半径画弧交AD于点E；
⑤从点A开始以AE为半径顺时针依次画弧，
正好把⊙O十等分（其中点F，G，B，H，I为五等分点）；
⑥以点F，G，B，H，I为顶点画出五角星．
任务：

(1)、求出 $\frac{A E}{O A}$ 的值为；

(2)、如图，GH与BF，BI分别交于点M，N，求证：△BMN是黄金三角形．

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