2023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 29.3 切线的性质与判定同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-01-27 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，点O是 $△ A B C$ 外接圆的圆心，点I是 $△ A B C$ 的内心，连接 $O B$ ， $I A$ ．若 $∠ C A I = 35 °$ ，则 $∠ O B C$ 的度数为（）

A、 $15 °$ B、 $17.5 °$ C、 $20 °$ D、 $25 °$

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2. 如图，一条公路环绕山脚的部分是一段圆弧形状（O为圆心），过A、B两点的切线交于点C ，测得 $∠ C = 120 °$ ， A ， B两点之间的距离为72米。则这段公路AB的长度为（）

A、12π米 B、24π米 C、36π米 D、48π米

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3. 题目：“如图，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，以点 $A$ 为圆心，以小于 $A B$ 的长度为半径作 $⊙ A$ ， $P$ 是 $⊙ A$ 上一点，连接 $B P$ ．将线役 $B P$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $B P^{'}$ ，连接 $P P^{'}$ ．当 $∠ A P B$ 为何度数时， $P P^{'}$ 与 $⊙ A$ 相切，切点为 $P$ ？”对于其答案，甲答： $∠ A P B = 135 °$ ，乙答： $∠ A P B = 60 °$ ，丙答： $∠ A P B = 45 °$ ，则下列判断正确的是（）

A、只有甲答的对 B、甲、丙答案合在一起才完整 C、乙、丙答案合在一起才完整 D、三人答案合在一起才完整

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4. 如图，已知△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E．若CD=5，CE=4，则⊙O的半径是（）

A、3 B、4 C、 $\frac{25}{6}$ D、 $\frac{25}{8}$

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5. 如图，正方形 $A B C D$ 的顶点A、D在⊙O上，边 $B C$ 与⊙O相切，若正方形 $A B C D$ 的周长记为 $C_{1}$ ，⊙O的周长记为 $C_{2}$ ，则 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 的大小关系为（）

A、 $C_{1} > C_{2}$ B、 $C_{1} < C_{2}$ C、 $C_{1} = C_{2}$ D、无法判断

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6. 如图，一个零刻度落在点A的量角器（半圆O），其直径为AB ，一等腰直角三角板MNB绕点B旋转，斜边BN交半圆O于点C ， BM交半圆O于点D ，点C在量角器上的读数为 $α$ .关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（）
结论Ⅰ： $\overset{⌢}{A C} + \overset{⌢}{B D} = \frac{1}{2} \overset{⌢}{A B}$ ；
结论Ⅱ：当边MN与半圆O相切于点E（点E在量角器上的读数为 $β$ ）时， $β - \frac{1}{2} α = 45$

A、只有结论Ⅰ对 B、只有结论Ⅱ对 C、结论Ⅰ、Ⅱ都对 D、结论Ⅰ、Ⅱ都不对

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7. 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，分别以A、B两点为圆心，画与x轴相切的两个圆，若点A的坐标为（2，1），则图中两个阴影部分面积的和是（　　）

A、 $\frac{1}{2} π$ B、 $\frac{1}{4} π$ C、π D、4π

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8. 如图， $⊙ I$ 是 $R t △ A B C$ 的内切圆， $∠ A C B = 90 °$ ，过点I作 $M N ∥ A B$ 分别交 $C A$ ， $C B$ 于N，M，若 $B M = 3$ ， $A N = 4$ ，则 $⊙ I$ 的半径是（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{14}{5}$ D、 $\frac{12}{5}$

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二、填空题

9. 如图，边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，分别过点A ， D作 $⊙ O$ 的切线，两条切线交于点P ，则图中阴影部分的面积是.

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10. 如图，在△ABC中，AC＝BC ， ∠ACB＝100°，⊙O与AB ， BC分别切于点D ， C ，连接CD ．则∠ACD的度数为．

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11. 如图，PA ， PB分别与⊙O相切于A ， B ， CE切⊙O于E ，已知PO＝13cm ， ⊙O的半径为5cm ，则△PDE的周长是 cm ．

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12. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 9 ， A D = 8$ ，点 $E ， F$ 分别是边 $A B ， A D$ 上的两点，连接 $E F$ ，以 $E F$ 为直径的半圆分别与矩形的另外两边相切，则图中阴影部分的周长为（结果保留 $π$ ）

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13. 如图，在 $R t △ A B C$ 中． $∠ A = 90 °$ ， $s i n ∠ A B C = \frac{1}{2}$ ． $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的内切圆．分别与 $A C$ ， $A B$ ， $B C$ 相切于点 $F$ ， $P$ ， $E$ ．

(1)、 $∠ E P F =$ $°$ ．

(2)、若 $B C = 4$ ，则 $A P =$ ．

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三、解答题

14. 如图1，已知AB是 $⊙ O$ 的直径，且 $A B = 20$ ， BM切 $⊙ O$ 于点B ，点P是 $⊙ O$ 上的一个动点（不经过A ， B两点），连接PA ，过点O作 $O Q ∥ A P$ 交BM于点Q ，过点P作 $P E ⊥ A B$ 于点C ，交QO的延长线于点E ，连接AE ， PQ.
图1 （备用图）

(1)、求证： $P E ∥ B M$ ；

(2)、试判断PQ与 $⊙ O$ 的位置关系，并给予证明；

(3)、随着点P的移动，四边形PAEO能否为菱形，若能，请说明点E与 $⊙ O$ 的位置关系，并求出PE的长；若不能，请说明理由.

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15. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 分别与 $B C 、 A C$ 交于点 $D 、 E$ ，过点 $D$ 作 $D F ⊥ A C$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $D F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、如图1，若 $⊙ O$ 的半径为 $3 ， ∠ C D F = 15 °$ ，求阴影部分的面积；

(3)、如图2，若 $D F = 6 ， A B = 13$ ，求 $C D$ 的值．

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四、综合题

16. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 与 $A C$ 交于点D，点 $E$ 是 $B C$ 的中点，连接 $B D$ ， $D E$ ．

(1)、求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $D E = 2$ ， $t a n ∠ B A C = \frac{1}{2}$ ，求 $A D$ 的长；

(3)、在（2）的条件下，点P是 $⊙ O$ 上一动点，求 $P A + P B$ 的最大值．

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17. 如图1，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝4.点P为射线AB上一动点，在射线DA上取一点E ，连接DP ， EP ，使∠DPE＝60°.作△APE的外接圆，设圆心为O.

(1)、当圆心O在AB上时，AE＝；

(2)、当点E在边AD上时，
①判断⊙O与DP的位置关系，并证明；
②当AP为何值时，AE有最大值？并求出最大值；

(3)、如图2，连接AC ，若PE∥AC ，则AP＝；将优弧PE沿PE翻折交射线AC于点Q ，则PQ的弧长＝.

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