2023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 2.7 正多边形与圆同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-01-27 类型：同步测试

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一、选择题

1. 若一个正多边形的各个内角都是140°，则这个正多边形是（）

A、正七边形 B、正八边形 C、正九边形 D、正十边形

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2. 正十边形的每个内角都是（）

A、 $36 °$ B、 $72 °$ C、 $108 °$ D、 $144 °$

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3. 在圆内接正六边形 $A B C D E F$ 中，正六边形的边长为 $2 \sqrt{3}$ ，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（）

A、 $30 °$ ， $1$ B、 $45 °$ ， $\sqrt{2}$ C、 $60 °$ ， $\sqrt{3}$ D、 $60 °$ ， $3$

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4. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形 $A B C D E F$ 的中心与原点O重台， $A B ∥ x$ 轴，交y轴于点P．将 $△ O A P$ 绕点O逆时针旋转，每次旋转 $90 °$ ，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（）

A、 $(\sqrt{3} ， - 1)$ B、 $(- 1 ， - \sqrt{3})$ C、 $(- \sqrt{3} ， 1)$ D、 $(1 ， \sqrt{3})$

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5. 如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM的度数是（　　）

A、36° B、45° C、48° D、60°

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6. 如图，已知正六边形ABCDEF中，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP+BP的值最小时，BP与HG的夹角（锐角）度数为（）度．

A、 $45$ B、60 C、 $75$ D、 $30$

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7. 如图，点 $P_{1} \sim P_{6}$ 是 $⊙ O$ 的六等分点．若 $△ P_{1} P_{5} P_{6}$ ， $△ P_{2} P_{3} P_{5}$ 的周长分别为 $C_{1}$ ， $C_{2}$ ，面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，则下列正确的是（）

A、 $C_{1} = C_{2}$ B、 $C_{2} = 2 C_{1}$ C、 $S_{1} = S_{2}$ D、 $S_{2} = 2 S_{1}$

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8. 如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接正方形，直线 $E F ⊥ O A$ 且平分 $O A$ ，交 $⊙ O$ 于点 $E$ ， $F .$ 若 $O A = 1$ ，则阴影部分面积为（）

A、 $\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2}$ B、 $\frac{π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}$ C、 $\frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2}$ D、 $\frac{π}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2}$

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二、填空题

9. 若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为．

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10. 将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边 $A B$ 与正方形的边 $C D$ 在同一条直线上，则 $∠ B O C$ 的度数是．

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11. 如图是昆明西山的著名景点升庵亭，它的地基是半径为2m的正六边形，则该正六边形的边心距是．

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12. 如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到 $△ A B C$ ，则 $t a n ∠ A C B$ 的值是．

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13. 将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中

(1)、 $∠ α =$ 度．

(2)、中间正六边形的中心到直线l的距离为（结果保留根号）．

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三、解答题

14. 如图，在正六边形ABCDEF中，AB=2，P是ED的中点，连结AP．求AP的长．

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15. 如图1．正方形ABCD内接于 $⊙ O$ ，连接AC ． P是 $⊙ O$ 上的动点（不与点A重合），连接AP ．

(1)、如图2，当P是 $\overset{⌢}{C D}$ 的中点时，过点D作 $⊙ O$ 的切线，与AP的延长线交于点Q ．
①AC与DQ之间的位置关系是 ▲ 。并说明理由；
②求 $∠ Q$ 的度数；

(2)、连接DP ，请直接写出 $∠ A P D$ 的度数。

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四、综合题

16. 鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星．为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等．数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究．延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边形 $A B C D E$ 的边 $B A 、 D E$ 的延长线相交于点F ， $∠ E A F$ 的平分线交 $E F$ 于点M ．

(1)、求证： $A E^{2} = E F \cdot E M$ ．

(2)、若 $A F = 1$ ，求 $A E$ 的长．

(3)、求 $\frac{S_{正五边形 A B C D E}}{S_{△ A E F}}$ 的值．

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17. 已知，正六边形ABCDEF ，边长为6，G点以每秒为1的速度从A→B→C→D→E上运动，不与E点重合，同时，点H以同样的速度从B→C→D→E→F上运动，不与F点重合，连接GF、AH交于点I；

(1)、求∠E的度数．

(2)、如图1，IJ是∠FIH的角平分线，过F点作IJ的垂线，垂足为J ，当FI是∠AFJ的角平分线时，求证AI＝IJ ．

(3)、如图2，过B点作FG的平行线，交直线AH于点L ，当G在运动的过程中，写出FI、AL、AI之间的数量关系，并给出证明．

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