2023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 2.5 直线与圆的位置关系同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-01-27 类型：同步测试

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一、选择题

1.
如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B．如果OP=4，PA=2 $\sqrt{3}$ ，那么∠AOB等于（　　）

A、90° B、100° C、110° D、120°

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2. 《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ .若三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，则这个三角形内切圆的半径是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$

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3. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $O$ 是 $A B$ 边上的点，以 $O$ 为圆心， $O B$ 为半径的 $⊙ O$ 与 $A C$ 相切于点 $D$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $A D = \sqrt{3} O D$ ， $A B = 12$ ， $C D$ 的长是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、2 C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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4. 如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于 $M (0 ， 2)$ ， $N (0 ， 8)$ 两点，则点P的坐标是（）

A、（5，3） B、（3，5） C、（4，5） D、（5，4）

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5. 如图， $△ ABC$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $BC = 6$ ，它的周长为 $16.$ 若 $⊙ O$ 与 $BC$ ， $AC$ ， $AB$ 三边分别切于 $E$ ， $F$ ， $D$ 点，则 $DF$ 的长为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6. 如图，不等边 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， I是其内心， $B I ⊥ O I$ ， $A C = 14$ ， $B C = 13$ ， $△ A B C$ 内切圆半径为（）

A、4 B、 $\frac{7}{2} \sqrt{2}$ C、 $\frac{5}{2} \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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7. 矩形ABCD中，AB＝12，BC＝8，将矩形沿MN折叠，使点C恰好落在AD边的中点F处，以矩形对称中心O点为圆心的圆与FN相切于点G，则⊙O的半径为（）

A、3.6 B、 $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ C、3.5 D、 $2 \sqrt{3}$

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8. 如图，⊙O的半径为4，A，B，C，D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF的值是( ）

A、4 B、2 $\sqrt{3}$ C、4 $\sqrt{3}$ D、值不确定

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二、填空题

9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 8$ ， $B C = 5$ . $A C = 7$ ， $⊙ O$ 与 $A B$ 延长线、 $B C$ 、 $A C$ 延长线相切，切点分别为 $D$ 、 $E$ 、 $F$ ，则点 $A$ 到圆心 $O$ 的距离为.

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10. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B O$ 为 $△ A B C$ 的角平分线，以点O为圆心， $O C$ 为半径作 $⊙ O$ 与边 $A C$ 交于点D.若 $t a n A = \frac{3}{4}$ ， $A D = 2$ ，则 $t a n ∠ B O C =$ .

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11. 我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为.

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12. 一个边长为3cm的正 $△ A B C$ 它有一个外接圆⊙O，我们记为第1个圆，它的内切圆记为第2个圆；在第2个圆内作一个内接正△的内切圆，记为第3个圆；在第3个圆内作一个内接正△的内切圆，记为第4个圆，…，如此作下去，那么第2022个圆的半径是cm

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13. 如图 1，是某激光黑白 A4 纸张打印机的机身，其侧面示意图如图 2，AB⊥BC，CD⊥BC．出纸盘 EP 下方为一段以 O 为圆心的圆弧 $\overset{⌢}{D E}$ ，与上部面板线段 AE 交于点 E，与 CD 相切于点 D．测得 BC＝24cm， CD＝18cm．进纸盘 CH 可以随调节扣 HF 向右平移，CH＝18cm，HF＝2cm．当 HF 向右移动 6cm 至H′F′时，点 A，D，F'在同一直线上，则 AB 的长度为cm．若点 E 到 AB 的距离为 16cm， tanA＝4，连接 PO，线段 OP 恰好过圆弧 $\overset{⌢}{D E}$ 的中点．若点 P 到直线 BC 的距离为 32cm，则 PE＝cm．

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三、解答题

14.
如图，AB是⊙O的直径，点F、C在⊙O上且，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若， CD=4，求⊙O的半径．

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15. 平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1．让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）．
发现：如图2，当点P恰好落在BC边上时，求a的值即阴影部分的面积；
拓展：如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x（x＞0），用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围．
探究：当半圆K与矩形ABCD的边相切时，直接写出sinα的值．

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四、综合题

16. 如图1，已知 $⊙ O$ 外一点 $P$ 向 $⊙ O$ 作切线 $P A$ ，点 $A$ 为切点，连接 $P O$ 并延长交 $⊙ O$ 于点 $B$ ，连接 $A O$ 并延长交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $C D ⊥ P B$ ，分别交 $P B$ 于点 $E$ ，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $A D$ .

(1)、求证： $△ A P O$ ∽ $△ D C A$ ；

(2)、如图2，当 $A D = A O$ 时，
①求 $∠ P$ 的度数；
②连接 $A B$ ，若点 $B$ 关于直线 $A C$ 的对称点为 $Q$ ，连接 $C Q$ ， $P Q .$ 请直接写出 $\frac{P Q}{C Q}$ 的值.

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17. 如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上两点，∠ABD＝2∠BAC，CE⊥BD于点E．

(1)、求证：CE是⊙O的切线；

(2)、若BC＝3，BD＝7，求线段BE的长：

(3)、在（2）的条件下，求cos∠DCA的值．

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