2023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 2.4 过不共线三点作圆同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-01-27 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则△ABC的外接圆直径为（）

A、5 B、12 C、13 D、6.5

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2. 在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，﹣5），若在x轴正半轴上有一点C，使∠ACB＝30°，则点C的横坐标是（）

A、3 $\sqrt{3} +$ 4 $\sqrt{2}$ B、12 C、6+3 $\sqrt{3}$ D、6 $\sqrt{3}$

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3. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为 $(1 ， 3)$ 、 $(5 ， 3)$ 、 $(1 ， - 1)$ ，则 $△ A B C$ 外接圆的圆心坐标是（）

A、 $(1 ， 3)$ B、 $(3 ， 1)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 2)$

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4. 已知锐角 $△ A B C$ 中，O是 $A B$ 的中点，甲、乙二人想在 $A C$ 上找一点P ，使得 $△ A B P$ 的外心为点O ，其做法如图．对于甲、乙二人的做法，正确的是（）

A、两人都正确. B、只有甲正确 C、只有乙正确 D、两人都不正确

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5. 如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述不正确的是（）

A、O是△AEB的外心，O不是△AED的外心 B、O是△BEC的外心，O不是△BCD的外心 C、O是△AEC的外心，O不是△BCD的外心 D、O是△ADB的外心，O不是△ADC的外心

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6. 如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{2} - \frac{1}{2}$ B、 $2 \sqrt{2} + 1$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、 $\sqrt{2} + \frac{1}{2}$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 120 °$ ，分别作 $A C$ ， $A B$ 两边的垂直平分线 $P M$ 、 $P N$ ，垂足分别是点M、N，以下说法：① $∠ P = 60 °$ ；② $∠ E A F = ∠ B + ∠ C$ ；③ $P E = P F$ ；④点P到点B和点C的距离相等．其中正确的是（）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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8. 如图，直线l： $y = - \frac{1}{2} x + 4$ 分别与x轴、y轴交于点A、B ．点P为直线l在第一象限的点．作△POB的外接圆 $⊙ C$ ，延长OC交 $⊙ C$ 于点D ，当△POD的面积最小时，则 $⊙ C$ 的半径长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、3

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二、填空题

9. 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， B C = 24 ， A C = 7$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆的半径为．

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10. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，AB=AC．∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O于点E，连结CE．若CE= $\sqrt{2}$ ，则BD的长为

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11. 如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均落在格点上．用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是

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12. 如图，已知半圆O ， OB＝ $\sqrt{61}$ ．点D在半圆上，AD＝10，在 $\overset{⌢}{B D}$ 取点C ，连结AC ，作DH⊥AC于点H ，连结BH ，则BH的最小值等于．

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13. 如图，在等腰三角形纸片 $A B C$ 中， $A B = A C$ ，将该纸片翻折，使得点C落在边 $A B$ 的F处，折痕为 $D E$ ， D，E分别在边 $B C$ ， $A C$ 上， $∠ A F D = ∠ D E F$ ，若 $D E = 4$ ， $B D = 9$ ，则 $D F =$ ， $△ A B C$ 的面积为.

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三、解答题

14. 如图，已知抛物线y＝-x²+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，⊙M是△ABC的外接圆．若抛物线的顶点D的坐标为（1，4）．

(1)、求抛物线的解析式，及A、B、C三点的坐标；

(2)、求⊙M的半径和圆心M的坐标；

(3)、如图2，在x轴上有点P（7，0），试在直线BC上找点Q，使B、Q、P三点构成的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．

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15.
如图，已知△ABC内接于⊙O，AD、AE分别平分∠BAC和△BAC的外角∠BAF，且分别交圆于点D、F，连接DE，CD，DE与BC相交于点G．
（1）求证：DE是△ABC的外接圆的直径；
（2）设OG=3，CD= $2 \sqrt{5}$ ，求⊙O的半径．

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四、综合题

16. 已知菱形ABCD的边长为4．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC，CB于点E，F．

(1)、特殊发现：如图1，若点E，F分别是边DC，CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC，BD的交点O即为等边△AEF的外心；

(2)、若点E，F始终分别在边DC，CB上移动，等边△AEF的外心为点P．
①猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪条直线上，并加以证明；

②学以致用：如图3，当△AEF的面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，求 $\frac{1}{D M} + \frac{1}{D N}$ 的值．

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17. 综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组继续利用上述结论进行探究.
提出问题：
如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接 $A D ， A B ， B C ， C D$ ，如果 $∠ B = ∠ D$ ，那么A，B，C，D四点在同一个圆上.
探究展示：求证：点A，B，C，D四点在同一个圆上
如图2，作经过点A，C，D的 $⊙ O$ ，在劣弧 $A C$ 上取一点E（不与A，C重合），连接 $A E$ ， $C E$ ，则 $∠ A E C + ∠ D = 180 °$ .

(1)、请完善探究展示

(2)、如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ 1 = ∠ 2 ， ∠ 3 = 45 °$ ，则∠4的度数为.

(3)、拓展探究：如图4，已知 $△ A B C$ 是等腰三角形， $A B = A C$ ，点D在 $B C$ 上（不与 $B C$ 的中点重合），连接 $A D$ .作点C关于 $A D$ 的对称点E，连接 $E B$ 并延长交 $A D$ 的延长线于F，连接 $A E ， D E$ .
①求证：A，D，B，E四点共圆；
②若 $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $A D \cdot A F$ 的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由

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