2023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 2.2 圆心角、圆周角同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-01-27 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，若 $A C = 2$ ， $∠ D = 60 °$ ，则 $⊙ O$ 的半径等于（）

A、4 B、5 C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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2. 如图，在 $⊙ O$ 中，若 $∠ B O C = 50 °$ ，则 $∠ B A C$ 的度数是（）

A、50° B、30° C、25° D、20°

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3. 如图，正六边形 $A B C D E F$ 内接于 $⊙ O$ ，点M在 $\overset{⌢}{A B}$ 上，则 $∠ C M E$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $36 °$ C、 $45 °$ D、 $60 °$

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4. 如图，△ABC内接于⊙O ， ∠C＝45°，AB＝6，则⊙O半径为（　　）

A、3 $\sqrt{2}$ B、8 C、2 $\sqrt{3}$ D、10

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5. 如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC=5，∠BAC=∠D．则AB的长为（）

A、5 B、10 C、 $5 \sqrt{2}$ D、 $10 \sqrt{2}$

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6. 如图，AC，BC是两个半圆的直径，∠ACP=30°，AB=10 cm，则PQ的长为（）．

A、5cm B、 $5 \sqrt{3}$ cm C、6cm D、8cm

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7. 如图，AB＝4，以O为圆心，AB为直径作半圆，点C是半圆一动点，若BC＝2BD，∠CBD＝60°，则线段AD的最大值为（　　）

A、2 $\sqrt{3}$ +2 B、 $\sqrt{13}$ +1 C、3 $\sqrt{3}$ D、2 $\sqrt{3}$ +1

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8. 如图，已知点 $A ， B ， C ， D$ 均在 $⊙ O$ 上， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，弦 $A D$ 的延长线与弦 $B C$ 的延长线交于点 $E$ ，连接 $O C ， O D ， A C ， C D ， B D$ ．则下列命题为假命题的是（）

A、若点 $D$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，则 $A D = B D$ B、若 $O D ⊥ A C$ ，则 $∠ A O D = ∠ A B C$ C、若 $A B = A E$ ，则 $C B = C E$ D、若半径 $O D$ 平分弦 $A C$ ，则四边形 $A O C D$ 是平行四边形

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二、填空题

9. 如图所示，四边形 $A B C D$ 为 $⊙ O$ 的内接四边形， $∠ B C D = 120 °$ ，则 $∠ B O D$ 的大小是.

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10. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的度数是°．

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11. 如图，⊙O的弦AB，CD的延长线交于圆外一点E，若∠AOC=110°．∠BCD=15°，则∠E= 。

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12. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，点E、F分别是AB、BC边上的动点，且AE：BF＝2：1，连接AF和DE交于点G ，连接CG ，则CG的最小值是．

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13. 如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=3，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是．

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三、解答题

14. 在证明圆周角定理时，小岩所在的学习小组讨论出圆心与圆周角有三种不同的位置关系（如图1，2，3所示），并完成了情况一的证明．请你选择情况二或者情况三中的一种，完成证明．

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

已知： $⊙ O$ 中， $\overset{⌢}{B C}$ 所对的圆周角为 $∠ B A C$ ，圆心角为 $∠ B O C$ ．

求证： $∠ B A C = \frac{1}{2} ∠ B O C$ ．

证明：

情况一（如图1）：

点 $O$ 在 $∠ B A C$ 的一边上．

$∵ O A = O C$

$∴ ∠ A = ∠ C$ ．

$∵ ∠ B O C = ∠ A + ∠ C$ ，

$∴ ∠ B O C = 2 ∠ A$ ．

即 $∠ B A C = \frac{1}{2} ∠ B O C$ ．

情况二（如图2）：

点 $O$ 在 $∠ B A C$ 的内部．

情况三（如图3）：

点 $O$ 在 $∠ B A C$ 的外部．

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15. 已知四边形ABCD，⊙O经过B，D两点，与四条边分别交于点E，F，G，H，且 $\overset{⌢}{E F}$ = $\overset{⌢}{G H}$ ．

(1)、如图①，连接BD，若BD是⊙O的直径，求证：∠A=∠C．

(2)、如图②，若 $\overset{⌢}{E F}$ 的度数为θ，∠A=α，∠C=β，请写出θ，α和β之间的数量关系，并说明理由．

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四、综合题

16. 已知： $⊙ O$ 的两条弦 $A B$ ， $C D$ 相交于点M，且 $A B = C D$ .

(1)、如图1，连接 $A D$ .求证： $A M = D M$ .

(2)、如图2，若 $A B ⊥ C D$ ，点E为弧 $B D$ 上一点， $\overset{⌢}{B E} = \overset{⌢}{B C} = α °$ ， $A E$ 交 $C D$ 于点F，连接 $A D$ 、 $D E$ .
①求 $∠ E$ 的度数(用含 $α$ 的代数式表示).
②若 $D E = 7$ ， $A M + M F = 17$ ，求 $△ A D F$ 的面积.

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17. 如图1，△ABC是⊙O内接三角形将△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，其中点D在圆上，点E在线段AC上．

(1)、求证：DE=DC；

(2)、如图2，过点B作BF∥CD分别交AC、AD于点M、N，交⊙O于点F，连结AF．求证：AN·DE=AF·BM：

(3)、在(2)的条件下，若 $\frac{A B}{A C} = \frac{1}{3}$ 时，求 $\frac{B F}{B C}$ 的值．

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