2023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 1.4 二次函数与一元二次方程的联系同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-01-27 类型：同步测试

进入出卷网下载

一、选择题

1. 二次函数y＝ax²+3x﹣1与x轴的交点个数是（　　）

A、2 B、1 C、0 D、不能确定

查看试题解析
2. 二次函数 $y = k x^{2} - 6 x + 3$ 的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）

A、 $k < 3$ B、 $k < 3$ 且 $k \neq 0$ C、 $k \leq 3$ D、 $k \leq 3$ 且 $k \neq 0$

查看试题解析
3. 已知一次函数 $y_{1} = k x + m (k \neq 0)$ 和二次函数 $y_{2} = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 部分自变量和对应的函数值如下表：当 $y_{2} > y_{1}$ 时，自变量 $x$ 的取值范围是（）
$x$
…
-1
0
2
4
5
…
$y_{1}$
…
0
1
3
5
6
…
$y_{2}$
…
0
-1
0
5
9
…

A、 $- 1 < x < 2$ B、 $4 < x < 5$ C、 $x < - 1$ 或 $x > 4$ D、 $x < - 1$ 或 $x > 5$

查看试题解析
4. 抛物线y＝﹣0.5x²+bx+3的部分图象如图所示，当y＞0时自变量x的取值范围为（　　）

A、﹣1＜x＜1 B、x＜﹣1或x＞1 C、﹣3＜x＜1 D、x＜﹣3或x＞1

查看试题解析
5. 抛物线y=a(x+m)² (a≠0，m≠0)与坐标轴交点的个数（）．

A、必定是1个 B、必定是2 个 C、必定是3个 D、可以是1个也可以是2个

查看试题解析
6. 如图，抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ，与 $x$ 轴的负半轴交于点 $B$ ，点 $M$ 是对称轴上的一个动点.连接 $A M ， B M$ ，当 $| A M - B M |$ 最大时，点 $M$ 的坐标是（）

A、 $(1 ， 4)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(1 ， - 2)$ D、 $(1 ， - 6)$

查看试题解析
7. 如图，已知二次函数 $y = - \frac{5}{4} (x + 1) (x - 4)$ 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与 $y$ 轴交于点C，P为该二次函数在第一象限内的一点，连接AP，交BC于点K，则 $\frac{A P}{P K}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{9}{4}$ B、2 C、 $\frac{7}{4}$ D、 $\frac{5}{4}$

查看试题解析
8. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a < 0)$ 的图象经过点 $(- 1 ， 0)$ ，对称轴为 $x = 1$ ．给出下面三个结论：
① $2 a + b = 0$ ；
②关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c + 1 = 0$ 有一个根大于3；
③对于任意实数m ， $a m^{2} + b m \leq a + b$ ．
上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

查看试题解析

二、填空题

9. 抛物线y＝x²+2与y轴的交点坐标为．

查看试题解析
10. 若二次函数y＝x²+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值范围是.

查看试题解析
11. 已知如图：抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与直线 $y = k x + n$ 相交于点 $A (- \frac{5}{2} ， \frac{7}{4})$ 、 $B (0 ， 3)$ 两点，则关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c ＜ k x + n$ 的解集是

查看试题解析
12. 抛物线 $y = 2 x^{2} - a x + m - a$ 与 $x$ 轴相交于不同两点 $A (x_{1} ， 0)$ 、 $B (x_{2} ， 0)$ ，若存在整数 $a$ 及整数 $m$ ，使得 $1 < x_{1} < 3$ 和 $1 < x_{2} < 3$ 同时成立，则 $m =$ ．

查看试题解析
13. 抛物线y＝ax²+bx+c（a＜0，a、b、c为常数）的部分图象如图所示，其顶点坐标为（-1，n）且与x轴的一个交点在（-3，0）和（-2，0）之间，则下列结论：①a+b+c＜0；②2a-b＝0；③一元二次方程 $a x^{2} + (b + \frac{n}{2}) x + c - \frac{n}{2}$ ＝0的两根为x₁、x₂ ，则|x₁-x₂|＝2；④对于任意实数m ，不等式a（m²-1）+b（m+1）≤0恒成立，其中正确的有（填写序号）

查看试题解析

三、解答题

14. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (m ， y_{1})$ ， $B (m + 2 ， y_{2})$ 在抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 上，设抛物线的对称轴为 $x = t$ ．

(1)、若 $y_{1} = y_{3}$ ，用含m的式子表示t；

(2)、若对于任意 $2 < m < 3$ ，都有 $y_{1} < y_{2}$ 成立，求t的取值范围．

查看试题解析
15. 如图，抛物线的顶点坐标为（2，6），且经过点（4，2）．点P是第一象限内的抛物线上的一点．且在对称轴右侧．过点P作PM⊥x轴于点M．PN⊥y轴于点N．设点P的横坐标为m．

(1)、求这条抛物线对应的函数解析式

(2)、当四边形OMPN为正方形时，求m的值

(3)、求四边形OMPN的周长的最大值

(4)、若直线PN与这条抛物线的另一个交点为点Q，直接写出当 $\frac{1}{3} \leq Q N \leq 1$ 时m的取值范围．

查看试题解析

四、综合题

16. 如图，抛物线L： $y = a x^{2} - 2 a x + \frac{15}{2} (a \neq 0)$ 与x轴交于 $A (- 3 ， 0)$ ， B两点，与y轴交于点C.

(1)、求抛物线L的解析式和顶点坐标；

(2)、已知点 $Q (m ， \frac{7}{2})$ 在抛物线L上，且到y轴的距离不超过3，求m的值；

(3)、已知点P的坐标为 $(2 ， 2)$ ，连接AP ，坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出抛物线L在x轴上方的一段，记为 $L^{'}$ ，将该胶片向下平移 $d (d \geq 0)$ 个单位长度.
①若平移后的 $L^{'}$ 在x轴上方的部分只有一个整点（横、纵坐标都是整数的点），请直接写出满足条件的整数d的值；
②若平移后的 $L^{'}$ 与线段AP只有一个公共点，求d的取值范围.

查看试题解析
17. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 $y = x^{2} + \frac{1}{4}$ 与y轴相交于点A，点B与点O是关于点A的对称点. 过点B的直线y=kx+b(其中k<0)与x轴相交于点 C，过点 $C$ 作直线 $l$ 平行于y轴， $P$ 是直线 $l$ 上一点，且PB=PC.

(1)、填空：点B的坐标为：点C的坐标为 (用含k的式子表示)；

(2)、求线段PB的长(用含k的式子表示)：

(3)、点P是否一定在抛物线上? 说明理由.

查看试题解析

$x$	…	-1	0	2	4	5	…
$y_{1}$	…	0	1	3	5	6	…
$y_{2}$	…	0	-1	0	5	9	…