2023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 1.4 二次函数与一元二次方程的联系同步分层训练基础题

试卷更新日期：2024-01-27 类型：同步测试

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一、选择题

1. 抛物线 $y = x^{2} + 4$ 与 $y$ 轴的交点坐标是（）

A、 $(4 ， 0)$ B、 $(- 4 ， 0)$ C、 $(0 ， - 4)$ D、 $(0 ， 4)$

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2. 抛物线y＝x²﹣5x+6与x轴的交点情况是（）

A、有两个交点 B、只有一个交点 C、没有交点 D、无法判断

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3. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴为直线 $x = 1$ ，则下列结论中，错误的是（　　）　

A、 $a c < 0$ B、 $2 a - b = 0$ C、 $b^{2} - 4 a c > 0$ D、 $a - b + c = 0$

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4. 二次函数 y = x²+2x-1的图象与y轴的交点坐标是（）

A、（-2，0） B、（0，-2） C、（-1，0） D、（0，-1 ）

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5. 若二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图，与x轴的一个交点为（1，0），则下列各式中不成立的是（）

A、 $b^{2} - 4 a c > 0$ B、 $a b c > 0$ C、 $a + b + c = 0$ D、 $a - b + c < 0$

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6. 已知函数y＝3﹣（x﹣m）（x﹣n），并且a ， b是方程3﹣（x﹣m）（x﹣n）＝0的两个根，则实数m ， n ， a ， b的大小关系可能是（）

A、m＜n＜b＜a B、m＜a＜n＜b C、a＜m＜b＜n D、a＜m＜n＜b

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7. 如图，已知二次函数y₁₌ $a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与正比例函数y₂＝kx（k≠0）的图象相交于点A（3，4），与x轴交于点B（2，0），若0＜y₁＜y₂ ，则x的取值范围是（　　）

A、 $- \frac{2}{3} < x < 3$ B、2＜x＜3 C、 $- \frac{2}{3} < x < 2$ D、0＜x＜3

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二、填空题

8. 抛物线 $y = - {(x + 2)}^{2} + 6$ 与y轴的交点坐标．

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9. 拋物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴及部分图象如图所示，则关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两根为.

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10. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图，其对称轴 $x = - 1$ ，给出下列结果： $① b^{2} > 4 a c$ ； $② a b c > 0$ ； $③ 2 a + b = 0$ ； $④ a - b + c < 0$ ； $⑤ 3 a + c > 0 .$ 其中正确结论的序号是．

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11. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 x + k$ 的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + k = 0$ 的一个解为 $x_{1} = 3$ ，则另一个解x₂= ．

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12. 下图是二次函数 $y = - x^{2} + 4 x$ 的图象，若关于x的一元二次方程 $- x^{2} + 4 x - t = 0$ （t为实数）在 $1 < x < 5$ 的范围内有解，则t的取值范围是．

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三、解答题

13. 如图，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，顶点为D．

(1)、求此二次函数的解析式；

(2)、求△ABD的面积．

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14. 如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 图象经过点 $A (1 ， 4)$ 和点 $C (0 ， 3)$ .

(1)、求该二次函数的解析式；

(2)、结合函数图象，直接回答下列问题：
①当 $- 1 < x < 2$ 时，函数 $y$ 的取值范围：.
②当 $y \geq 0$ 时， $x$ 的取值范围：.
③方程 $a x^{2} + 2 x + c = 3$ 的解为：.

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四、综合题

15. 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象回答下列问题．

(1)、写出方程ax²+bx+c=0的根；

(2)、写出不等式ax²+bx+c＜0的解集；

(3)、若方程ax²+bx+c=k无实数根，写出k的取值范围．

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16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为(6，8)，O为坐标原点，连结OA，二次函数y=x²图象从点O沿OA方向平移，顶点始终在线段OA上（包括端点O和A)，平移后的抛物线y=ax²+bx+c与直线x=6交于点P，顶点为M．

(1)、若OM=5，求此时二次函数的解析式，并求不等式ax²+bx+c= $\frac{4}{3}$ x的解集．

(2)、二次函数图象平移过程中，设点M的横坐标为m，直线AP交x轴于点B，线段PB是否存在最小值？若存在，求出此时m的值；若不存在，说明理由．

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