2023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 1.3 不共线三点确定二次函数的表达式同步分层训练基础题

试卷更新日期：2024-01-27 类型：同步测试

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一、选择题

1. 抛物线的形状、开口方向与y＝ $\frac{1}{2}$ x2-4x+3相同，顶点在（-2，1），则关系式为（）

A、y＝ $\frac{1}{2}$ （x-2）2+1 B、y＝ $\frac{1}{2}$ （x+2）2-1 C、y＝ $\frac{1}{2}$ （x+2）2+1 D、y＝- $\frac{1}{2}$ （x+2）2+1

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2. 若点 $(- 2 ， - 12)$ 在二次函数 $y = a x^{2}$ 的图象上，则 $a$ 的值为（）

A、 $- 6$ B、 $6$ C、 $- 3$ D、 $3$

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3. 在直角坐标系中，如图函数图象的表达式是（）．

A、y= $\frac{3}{2}$ x² B、y= $\frac{2}{3}$ x² C、y= $\frac{4}{3}$ x² D、y= $\frac{3}{4}$ x²

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4. 下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x
…
$- 1$
1
3
…
y
…
$- 4$
$- 6$
$- 4$
…
下列各选项中，正确的是（）

A、这个函数的图象开口向下 B、这个函数的图象与x轴无交点 C、这个函数的最小值小于 $- 6$ D、当 $x > 1$ 时，y的值随x值的增大而增大

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5. 如图所示的抛物线的解析式为（）

A、 $y = - \frac{4}{3} x^{2} + 4$ B、 $y = - \frac{3}{16} x^{2} + 3$ C、 $y = - \frac{4}{9} x^{2} + 4$ D、 $y = \frac{4}{9} x^{2} + 4$

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6. 某同学在用列表描点法画二次函数y=ax²+bx+c的图糸时，列出了下面的表格：那么当x=5时，y的值为（）
x
……
-1
0
1
2
3
……
y
……
8
3
0
-1
0
……

A、8 B、6 C、4 D、3

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7. 在“探索函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的系数 $a$ ， $b$ ， $c$ 与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点： $A (0 ， 2)$ ， $B (1 ， 0)$ ， $C (3 ， 1)$ ， $D (2 ， 3) .$ 同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中经过哪三个点的 $a$ 的值最大（）

A、点 $A$ ，点 $B$ ，点 $C$ B、点 $A$ ，点 $C$ ，点 $D$ C、点 $A$ ，点 $B$ ，点 $D$ D、点 $B$ ，点 $C$ ，点 $D$

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8. 小梦同学观察下表数列的前五个数时，发现a_n是n的二次函数．设S= $\frac{a_{n}}{n}$ ，下列说法正确的是（）
n
1
2
3
4
5
…
n
数列
-5
-2
0
1
1
…
a_n

A、S有最大值为1 B、当n=10时，S=-14 C、S有最小值为-5 D、当n=15时，S= $- \frac{18}{5}$

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二、填空题

9. 如图，函数y＝-（x-h）²+k的图象，则其解析式为．

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10. 抛物线y=ax²经过点(2，-8)，则a= ．

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11. 二次函数 $y = a (x - m)^{2}$ 的图象如图，已知 $a = \frac{1}{2}$ ， $O A = O C$ ，则该抛物线的解析式为 $. ($ 用顶点式表示 $)$

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12. 如图，已知平面直角坐标系中的四个点： $A (0 ， 2)$ ， $B (1 ， 0)$ ， $C (3 ， 1)$ ， $D (2 ， 3)$ ．

若抛物线 $y = \frac{2}{3} x^{2} + b x + c$ 经过点A ， B ，则当 $x \geq$ 时，y随x的增大而增大；
若抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过A ， B ， C ， D四点中的三个点，则满足条件的a的最大值为．

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13. 如图，嘉嘉用计算机编程模拟抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离，当弹跳球以某种特定的角度从点 $P (0 ， 1)$ 处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线L ，其最高点的坐标为 $(4 ， 5)$ .弹跳球落到斜面上的点A处反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线 $L^{'}$ ，且开口大小和方向均与L相同，但最大高度只是抛物线L最大高度的 $\frac{2}{5}$ .

(1)、抛物线L的解析式为；

(2)、若点A与点P的高度相同，且点A在抛物线 $L^{'}$ 的对称轴的右侧，抛物线 $L^{'}$ 的对称轴为直线.

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三、解答题

14. 抛物线 $y = a {(x + h)}^{2}$ 的对称轴是直线 $x = - 2$ ，且过点 $(1 ， - 3)$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、求拋物线的顶点坐标.

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15. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + 1$ 的函数值 $y$ 和自变量 $x$ 的部分对应取值如下表所示：

$x$

$\dots$

$- 1$

$0$

$1$

$2$

$3$

$\dots$

$y$

$\dots$

$m$

$1$

$n$

$1$

$p$

$\dots$

(1)、当 $m = 4$ 时．
$①$ 求这个二次函数的解析式；
$②$ 当抛物线下降时，求 $x$ 的取值范围；

(2)、如果 $m$ 、 $n$ 、 $p$ 这三个实数中，只有一个是正数，求 $a$ 的取值范围．

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四、综合题

16. 已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过点 $(- 1 ， 0) ， (3 ， 0)$ .

(1)、求该抛物线的对称轴.

(2)、自变量x在什么范围内时，y随x的增大而减小？

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17. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 $F_{1} ： y = x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (- 3 ， 0)$ 和点 $B (1 ， 0)$ .
图1 图2 图3

(1)、求抛物线 $F_{1}$ 的表达式；

(2)、如图2，抛物线 $F_{2}$ 与抛物线 $F_{1}$ 关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线 $F_{2}$ 的表达式为；

(3)、如图3，将（2）中抛物线 $F_{2}$ 向上平移m个单位，得到抛物线 $F_{3}$ ，当抛物线 $F_{3}$ 经过点A时，求m的值.

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$x$	$\dots$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$\dots$
$y$	$\dots$	$m$	$1$	$n$	$1$	$p$	$\dots$

x	…	$- 1$	1	3	…
y	…	$- 4$	$- 6$	$- 4$	…

x	……	-1	0	1	2	3	……
y	……	8	3	0	-1	0	……

n	1	2	3	4	5	…	n
数列	-5	-2	0	1	1	…	a_n