2023-2024学年湘教版初中数八年级下册 2.7 正方形同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-01-27 类型：同步测试

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一、选择题

1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）

A、对角线互相平分 B、对角线互相垂直 C、对角线相等 D、对角线互相垂直平分且相等

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2. 如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF；②∠DAF=15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF=EF；⑤S_△CEF=2S_△ABE ，其中正确结论有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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3.
如图，在边长为1的正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，P是BC边上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，则PE+PF=（　　）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则下列四个判断中不一定正确的是（　　）

A、四边形ADEF一定是平行四边形 B、若∠B+∠C=90°，则四边形ADEF是矩形 C、若四边形ADEF是菱形，则△ABC是等边三角形 D、若四边形ADEF是正方形，则△ABC是等腰直角三角形

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5. 如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线。将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG。则下列结论：
①四边形AEGF是菱形                  ②△AED≌△GED
③∠DFG=112.5°                       ④BC+FG=1.5
其中正确的结论是（    ）

A、①②③④ B、①②③ C、①② D、②

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6. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4 .$ 分别以 $A B$ 、 $A C$ 、 $B C$ 为边在 $A B$ 的同侧作正方形 $A B E F$ 、 $A C P Q$ 、 $B C M N$ ，四块阴影部分的面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ 、 $S_{4} .$ 则 $S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4}$ 等于（）

A、 $16$ B、 $18$ C、 $20$ D、 $22$

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7. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $6$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在 $A B$ ， $A D$ 上，若 $C E = 3 \sqrt{5}$ ，且 $∠ E C F = 45 °$ ，则 $A F$ 的长为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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8. 如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一个动点，PE⊥BC于点E ， PF⊥CD于点F ，连接EF ，有下列5个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤EF的最小值等于 $\frac{1}{2} B D$ ．其中正确结论的个数是（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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二、填空题

9. 如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点 $O$ 是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为．

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10. 如图，△ABC中，∠ACB =90°，AC=9，CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，已知DF=4，则AD的长是.

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11. 如图，直线过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直E的距离分别是1和2，则正方形ABCD面积是.

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12. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $6$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在 $B C$ ， $C D$ 上 $.$ 若 $A E = 2 \sqrt{10}$ ， $∠ E A F = 45 °$ ，则 $A F$ 的长为．

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13. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，以 $△ A B C$ 的三边为边向外作正方形 $A C D E$ ，正方形 $C B G F$ ，正方形 $A H I B$ ，连接 $E C$ ， $C G$ ，作 $C P ⊥ C G$ 交 $H I$ 于点P ，记正方形 $A C D E$ 和正方形 $A H I B$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，若 $S_{1} = 4$ ， $S_{2} = 7$ ，则 $S_{△ A C P}$ ： $S_{△ B C P}$ 等于．

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三、解答题

14. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，过点 $C$ 的直线 $M N / / A B$ ， $D$ 为 $A B$ 上一点，过点 $D$ 作 $D E ⊥ B C$ ，交直线 $M N$ 于点 $E$ ，垂足为 $F$ ，连接 $C D$ ， $B E$ ．

(1)、求证： $C E = A D$ ；

(2)、当点 $D$ 是 $A B$ 的中点时，四边形 $B E C D$ 是什么特殊四边形？请说明你的理由；

(3)、请直接写出在 $(2)$ 的条件下，当 $∠ A =$ $°$ 时，四边形 $B E C D$ 是正方形．

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15. 已知正方形 $A B C D$ ．

(1)、如图 $1$ 所示，若点 $E$ 在 $C D$ 的延长线上，以 $C E$ 为一边构造正方形 $C E F G$ ，连接 $B E$ 和 $D G$ ，则 $B E$ 与 $D G$ 的数量关系为，位置关系为．

(2)、如图 $2$ 所示，若 $E$ 是 $A D$ 边上的一个动点，以 $C E$ 为一边在 $C E$ 的右侧作正方形 $C E F G$ ，连接 $D G$ 和 $B E .$ 请判断线段 $B E$ 与 $D G$ 有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；

(3)、如图 $3$ 所示，在（2）的条件下，连接 $B G .$ 若 $A B = 3$ ， $A E = 1$ ，求线段 $B G$ 的长．

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四、综合题

16. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 是边 $B C$ 上的一点（不与 $B$ ， $C$ 重合），点 $D$ 关于直 $A E$ 的对称点是点 $F$ ，连接 $A F$ ， $B F$ ，直线 $A E$ ， $B F$ 交于点 $P$ ，连接 $D F$ ．

(1)、在图1中补全图形， $∠ A F D$ $∠ B A P$ （填“ $>$ ”“ $=$ ”或“ $<$ ”）；

(2)、猜想 $∠ A P B$ 和 $∠ D F P$ 的数量关系，并证明．

(3)、用等式表示线段 $P A$ ， $P B$ ， $P F$ 之间的数量关系，并证明．

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17. 在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为边 $C D$ 上一点 $($ 不与点 $C$ 、 $D$ 重合 $)$ ， $A F ⊥ B E$ 于点 $F$ ， $C G ⊥ B E$ 于点 $G$ ．

(1)、如图 $1$ ，求证： $A F = B G$ ；

(2)、如图 $2$ ，若 $F$ 为 $B G$ 中点，连接 $D F$ ，用等式表示线段 $A D$ ， $D F$ 之间的数量关系，并证明；

(3)、若 $A D = 13$ ， $B F = 5$ ，直接写出线段 $D F$ 的长是．

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