2023-2024学年湘教版初中数八年级下册 2.6.2 菱形的判定同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-01-27 类型：同步测试

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一、选择题

1. ▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O ，添加以下条件，不能判定平行四边形ABCD为菱形的是（　　）

A、AC＝BD B、AC⊥BD C、∠ACD＝∠ACB D、BC＝CD

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2.
如图，下列条件中，能使▱ABCD成为菱形的是（　　）

A、AB=CD B、AD=BC C、AB=BC D、AC=BD

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3. 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是菱形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是（　　）

A、互相平分 B、互相平分且相等 C、互相垂直 D、相等

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是边 $B C$ 上的点（与 $B 、 C$ 两点不重合），过点 $D$ 作 $D E ∥ A C ， D F ∥ A B$ ，分别交 $A B 、 A C$ 于 $E 、 F$ 两点，下列说法正确的是（）

A、若 $A D ⊥ B C$ ，则四边形 $A E D F$ 是矩形 B、若 $A D$ 垂直平分 $B C$ ，则四边形 $A E D F$ 是矩形 C、若 $B D = C D$ ，则四边形 $A E D F$ 是菱形 D、若 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，则四边形 $A E D F$ 是萎形

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5. 如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；再分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；再连接AC，BC，AB，OC．若AB＝10，OA＝13．则四边形AOCB的面积是（　　）

A、65 B、120 C、130 D、240

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别在边 $A B$ 、 $B C$ 、 $C A$ 上，且 $D E / / C A$ ， $D F / / B A .$ 下列四种说法，其中正确的有个（）
$①$ 四边形 $A E D F$ 是平行四边形； $②$ 如果 $∠ B A C = 90 °$ ，则四边形 $A E D F$ 是矩形； $③$ 如果 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，则四边形 $A E D F$ 是菱形； $④$ 如果 $A D ⊥ B C$ 且 $A B = A C$ ，则四边形 $A E D F$ 是菱形。

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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7. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形 $A B C D$ .测得A，B的距离为3，A，C的距离为2，则B，D的距离是（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $2 \sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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8. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ ， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $E$ 为 $C D$ 延长线上一点，且 $C D = D E$ ，连结 $B E$ ，分别交 $A C$ ， $A D$ 于点 $F$ 、 $G$ ，连结 $O G$ ，则下列结论：
$① O G = \frac{1}{2} A B$ ； $② S_{四边形 O D G F} > S_{△ A B F}$ ； $③$ 由点 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 、 $E$ 构成的四边形是菱形； $④ S_{△ A C D} = 4 S_{△ B O G} .$ 其中正确的结论是（）

A、 $① ②$ B、 $① ② ③$ C、 $① ③ ④$ D、 $② ③ ④$

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二、填空题

9. 如图，已知线段AB＝8，分别以A ， B为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ AB为半径画弧交于点P ， Q ，作直线PQ ，连接PA ， PB ， QA ， QB ．若AP＝5，则四边形APBQ的面积为．

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10. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，菱形AOBC的顶点B在x轴的正半轴上，点A的坐标为 $(1 ， \sqrt{3})$ ，则点C的坐标为．

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11. 如图，在 $∠ M O N$ 的两边上分别截取OA ， OB ，使 $O A = O B$ ；分别以点A ， B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C ，连接AC ， BC ， AB ， OC ．

(1)、四边形 $A O B C$ 的形状为；

(2)、若 $A B = 2 c m$ ，四边形 $A O B C$ 的周长为12cm．则OC的长为cm．

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12. 如图， $C E$ 是▱ $A B C D$ 的边 $A B$ 的垂直平分线，垂足点为点 $O$ ， $C E$ 与 $D A$ 的延长线交于点 $E$ ，连结 $A C$ ， $B E$ ， $D O$ ，则下列结论： $① ∠ A C D = ∠ B A E$ ； $②$ 四边形 $A C B E$ 是菱形； $③ A D = B E$ ； $④ S_{△ C O D} = 3 S_{△ B O E}$ ，其中正确的结论有 $($ 填写所有正确结论的序号 $)$ ．

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13. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ ， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，点 $E$ 为 $C D$ 延长线上一点，且 $C D = D E$ ，连接 $B E$ ，分别交 $A C$ 、 $A D$ 于点 $F$ 、点 $G$ ，连接 $O G$ 、 $A E$ ，则下列结论：

      $① O G = \frac{1}{2} A B$ ；

      $②$ 四边形 $A B D E$ 是菱形；

      $③$ 四边形 $O D E G$ 与四边形 $O B A G$ 面积相等．

其中正确的结论有个 $.$

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三、解答题

14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A C$ ， $A B$ 的中点， $O$ 是 $D F$ 的中点， $E O$ 的延长线交线段 $B D$ 于点 $G$ ，连接 $D E$ ， $E F$ ， $F G$ ．

(1)、求证：四边形 $D E F G$ 是平行四边形；

(2)、若 $F D ⊥ E G$ ， $A D = 6$ ， $C D = 2$ ，求 $B C$ 的长．

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15. 如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E．

(1)、如图1，若AB=AD，EC=1，∠BAE=30°，求AD的长；

(2)、如图2，若AD=AE，连接DE，过点A作AF⊥AB交ED于点F，在AB上截取AG=AF，连接DG，交AE于点N，∠DAE的角平分线AH与GD相交于点H，求证：GH=DH；

(3)、在（2）的条件下，若AN：AD＝2：5 ，AH=2 $\sqrt{2}$ ，请直接写出点C到直线DE的距离．

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四、综合题

16. 如图， $D B$ 是 $▱ A B C D$ 的对角线．

(1)、尺规作图（请用2B铅笔）：作线段 $B D$ 的垂直平分线 $E F$ ，交 $A B$ ， $D B$ ， $D C$ 分别于 $E$ ， $O$ ， $F$ ，连接 $D E$ ， $B F$ （保留作图痕迹，不写作法）．

(2)、试判断四边形 $D E B F$ 的形状并说明理由．

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17. 问题：如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $A D = 5$ ， $∠ D A B$ ， $∠ A B C$ 的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长.
答案： $E F = 2$ .
探究：

(1)、把“问题”中的条件“ $A B = 8$ ”去掉，其余条件不变.
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长.

(2)、把“问题”中的条件“ $A B = 8$ ， $A D = 5$ ”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求 $\frac{A D}{A B}$ 的值.

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