2023-2024学年湘教版初中数八年级下册 2.5.1 矩形的性质同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-01-27 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD = 90°，若矩形ABCD的周长为30 cm，则AB的长为（　）

A、5 cm B、10 cm C、15 cm D、7.5 cm

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2. 如图，在矩形纸片 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ，将其折叠，使点 $D$ 与点 $B$ 重合，折痕为 $E F$ ，设 $E F$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，连接 $A O$ ．若 $B F = 5$ ，则 $A O$ 的长为（）

A、 $3 \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{10}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{2}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{2}$

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3. 如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别AD，BD，BC，CA的中点，若四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（）

A、AC=BD B、AB⊥DC C、AC⊥BD D、AB=DC

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4. 数学老师要求学生用一张长方形的纸片

A B C D

折出一个

45 °

的角，甲、乙两人的折法如下，下列说法正确的是（）

甲：如图 $1$ ，将纸片沿折痕 $A E$ 折

叠，使点 $B$ 落在 $A D$ 上的点 $B'$ 处，

$∠ E A D$ 即为所求，

乙：如图 $2$ ，将纸片沿折痕 $A E$ ，

$A F$ 折叠，使 $B$ ， $D$ 两点分别落在

点 $B'$ ， $D'$ 处， $A B'$ 与 $A D'$ 在同一

直线上， $∠ E A F$ 即为所求，

A、只有甲的折法正确 B、甲和乙的折法都正确 C、只有乙的折法正确 D、甲和乙的折法都不正确

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5. 在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ， $A E$ 平分 $∠ B A D$ 交 $B C$ 于点 $E$ ， $∠ C A E = 15 °$ ．连接 $O E$ ，则下面的结论：① $△ D O C$ 是等边三角形；② $△ B O E$ 是等腰三角形；③ $B C = 2 A B$ ；④ $S_{△ A O E} = S_{△ C O E}$ ，其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. 在矩形 $A B C D$ 中，E是 $A D$ 的中点，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折叠后得到 $△ G B E$ ，延长 $B G$ 交直线 $C D$ 于点F，若 $C F = 1 ， F D = 2$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{6}$ B、3 C、 $2 \sqrt{6}$ 或 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$ 或3

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7. 如图，将矩形纸片 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 对折，使得点B落在点E处， $C E$ 交 $A D$ 于点F，若 $C E$ 平分 $∠ A C D$ ， $A F = 2$ ，则 $C D$ 的长是（）

A、1.5 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2} + 1$ D、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

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8. 已知，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $B C = 6$ ，点 $E$ 是线段 $A B$ 上的一个动点，将线段 $D E$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $D F$ ，过 $F$ 作 $F G ⊥ C D$ 于点 $G$ ，连接 $E F$ ，取 $E F$ 的中点 $H$ ，连接 $D H$ ， $A H$ ．点 $E$ 在运动过程中，下列结论：

① $△ A D E ≌ △ G D F$ ；②当点 $H$ 和点 $G$ 互相重合时， $A E = 6$ ；③ $∠ G F H = ∠ A D E$ ；④ $3 \sqrt{2} \leq A H \leq 7 \sqrt{2}$ ．正确的有（）个．

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

9. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为.

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10. 如图，长方形ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG=.

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11. 在矩形 $A B C D$ 中， $A C$ 、 $B D$ 交于点O ， $∠ A C D = 30 ° ， B C = 2 c m$ ，则 $△ B O C$ 的面积为 $c m^{2}$ ．

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12. 如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF中点，连接PC，则PC的最小值是.

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13. 如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG，BG，BD，DG，下列结论：①BC=DF；② $∠ D G F = 13 5^{°}$ ；③ $B G ⊥ D G$ ；④ $A B = \frac{3}{4} A D$ ，则 $S_{△ B D G} = \frac{25}{4} S_{△ F D G}$ ，正确的有．

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三、解答题

14. 已知矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 是边 $A D$ 上一点，连接 $B E$ 、 $C E$ 、 $O E$ ，且 $O E ⊥ A D$ ．

(1)、如图 $1$ ，求证： $B E = C E$ ；

(2)、如图 $2$ ，设 $B E$ 与 $A C$ 相交于点 $F$ ， $C E$ 与 $B D$ 相交于点 $H$ ，过点 $D$ 作 $A C$ 的平行线交 $B E$ 的延长线于点 $G$ ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 $2$ 中的四个三角形 $(△ A E F$ 除外 $)$ ，使写出的每个三角形的面积都与 $△ A E F$ 的面积相等．

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15. 在长方形纸片 $A B C D$ 中，点 $E$ 是边 $C D$ 上的一点，将 $Δ A E D$ 沿 $A E$ 所在的直线折叠，使点 $D$ 落在点 $F$ 处．

(1)、如图1，若点 $F$ 落在对角线 $A C$ 上，且 $∠ B A C = 54 °$ ，求 $∠ D A E$ 的度数．

(2)、如图2，若点 $F$ 落在边 $B C$ 上，且 $A B = 6$ ， $A D = 10$ ，求 $C E$ 的长．

(3)、如图3，若点 $E$ 是 $C D$ 的中点， $A F$ 的沿长线交 $B C$ 于点 $G$ ，且 $A B = 6$ ， $A D = 10$ ，求 $C G$ 的长．

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四、综合题

16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $O$ ，分别过点 $A ， C$ 作 $A E ⊥ B D$ 于点 $E$ ， $C F ⊥ B D$ 于点 $F$ ，连接 $A F ， C E$ ．

(1)、求证：四边形 $A E C F$ 是平行四边形；

(2)、若 $A B = 1$ ， $B E = E O$ ，求 $B C$ 的长．

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17. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于直线l： $y = k x + b$ （ $k \neq 0$ ）与图形M给出如下定义：若直线l与图形M有两个交点P，Q，则线段 $P Q$ 的长度称为直线l关于图形M的“截距”．如图，矩形 $A B C D$ 的其中三个顶点的坐标为 $A (1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ， $D (1 ， 3)$ ．

(1)、点C的坐标是．

(2)、直线 $y = x$ 关于矩形 $A B C D$ 的“截距”是；
直线 $y = x + m$ 关于矩形 $A B C D$ 的“截距”是 $\sqrt{2}$ ，求m的值．

(3)、如果直线 $y = k x + b$ （ $k \neq 0$ ）经过点 $E (2 ， 3)$ ，且关于矩形 $A B C D$ 的“截距”的最小值是 $\sqrt{5}$ ，求k的取值范围．

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