2023-2024学年湘教版初中数八年级下册 2.4 三角形的中位线同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-01-27 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（）

A、15 B、18 C、21 D、24

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2. 如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若∠CDE=48°，则∠APD等于（　　）

A、42° B、48° C、52° D、58°

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 的中点，点 $F$ 在 $D E$ 上，且 $∠ A F B = 90 °$ ，若 $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，则 $E F$ 的长为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $1$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $2$

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4. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E ， F分别是 $A B$ ， $C D$ 的中点， $A F$ ， $D E$ 相交于点M ， G为 $B C$ 上一点，N为 $E G$ 的中点．若 $B G = 3$ ， $C G = 1$ ，则线段 $M N$ 的长度为（　　）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{\sqrt{17}}{2}$ C、2 D、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$

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5. 如图，在▱ $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点，连接 $O E$ ，过 $D$ 点作 $D F ⊥ A B$ 于点 $F$ ，若 $O E = 4$ ， $∠ D A B = 60 °$ ，则 $A F$ 的长为（）

A、 $3$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $4$ D、 $4 \sqrt{3}$

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6. 如图，在三角形ABC中，AB=11，AC=15，点M是BC的中点，AD是∠BAC的角平分线，MF∥AD，则FC=（）

A、14 B、13 C、12 D、11

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7. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=1.5，延长BC至E，使得CE=BC，将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处，连结DE，则DE的长为（）

A、 $\frac{9}{10}$ B、 $\frac{6}{5}$ C、 $\frac{8}{5}$ D、 $\frac{9}{5}$

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8. 如图 $△ A B C$ 中， $A C = B C = 5$ ， $A B = 6$ ， $C D = 4$ ， $C D$ 为 $△ A B C$ 的中线，点 $E$ 、点 $F$ 分别为线段 $C D$ 、 $C A$ 上的动点，连接 $A E$ 、 $E F$ ，则 $A E + E F$ 的最小值为（）

A、 $4.8$ B、 $2.4$ C、 $6$ D、 $5$

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二、填空题

9. 如图，在▱ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD、BD的中点，连接EF．若EF=3，则CD的长为．

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中，点E是AC的中点，点F是BE的中点，且 $S_{△ A B C} = 6 c m^{2}$ ，则阴影部分的面积为.

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11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，N；再分别以M、N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 为半径画弧，两弧交于点P，画射线AP，交BC于点D，点E、F分别是AB，AD的中点．

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12. 已知 $R t △ A B C$ 中，点 $D$ 为斜边 $A B$ 的中点，连接 $C D$ ，将 $△ D C B$ 沿 $D C$ 翻折，使点 $B$ 落在点 $E$ 的位置， $D E$ 交 $A C$ 于 $F$ ，连接 $A E$ ．若 $A C = 4 ， B C = 3$ ，则 $A E$ 的长为

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13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在直线AC上，AD=1，过点D作DE∥AB交直线BC于点E，连接'BD，点O是线段BD的中点，连接OE，则OE的长为

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三、解答题

14. 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝α，D为AB的中点，过D作DE⊥AC于E，连接CD，F为CD的中点．

(1)、图1中，BF与EF的数量关系是， ∠BFE＝（用含α的式子表示）；

(2)、将△ADE绕点A逆时针旋转至如图2所示位置，试判断（1）中的两个结论是否依然成立？若成立，请证明你的结论．

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15. 下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在 $△ A B C$ 中，点D ， E分别是 $A B$ ， $A C$ 边的中点．求证： $D E ∥ B C$ ，且 $D E = \frac{1}{2} B C$ ．

(1)、方法一：证明：如图，延长 $D E$ 到点 $F$ ，使 $E F = D E$ ，连接 $A F$ ， $F C$ ， $D C$ ．

(2)、方法二：证明：如图，取 $B C$ 中点 $G$ ，连接 $G E$ 并延长到点 $F$ ，使 $E F = G E$ ，连接 $A F$ ．

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四、综合题

16. 如图，四边形ABCD中， $∠ A = ∠ A B C = 9 0^{°} ， A D = 1 ， B C = 3$ ， E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相较于点F．

(1)、求证：四边形BDFC是平行四边形；

(2)、若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．

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17.

(1)、课本再现
已知：如图， $D E$ 是 $△ A B C$ 的中位线．求证： $D E ∥ B C$ ，且 $D E = \frac{1}{2} B C$ ．
定理证明
证明：如图1，延长 $D E$ 至点 $F$ ，使得 $E F = D E$ ，连接 $C F$ ．请你根据小乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线）

(2)、知识应用
如图2，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $C D = 8$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $∠ A C D = 120 °$ ，点 $E$ ， $F$ ， $M$ 分别是 $A D$ ， $B C$ ， $A C$ 的中点，求 $E F$ 的长．

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