2023-2024学年湘教版初中数八年级下册 1.4 角平分线的性质同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-01-27 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在 $△ A B C$ 中， $C D$ 和 $B E$ 分别是 $∠ A C B$ ， $∠ A B C$ 的平分线， $D E ∥ B C$ ，与 $A C$ 交于点 $P$ ，若 $B D = 6$ ， $C P = 3.5$ ，则 $E P$ 的长为（）

A、4 B、 $3.5$ C、3 D、 $2.5$

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2. 如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E.若PE＝3，则两平行线AD与BC间的距离为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $D E ⊥ A B$ ，垂足为 $E$ ．若 $D E = 1$ ， $A C = 2$ ， $A B = 3$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $2.5$ B、3 C、5 D、6

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4. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， AD平分 $∠ B A C$ ， $D E ⊥ A B$ ， $D F ⊥ A C$ ，垂足分别是E、F，则下列四个结论中：①AD上任意一点到B、C的距离相等；②AD任意一点到AB、AC的距离相等；③ $A D ⊥ B C$ 且 $B D = C D$ ；④ $∠ B D E = ∠ C D F$ ．其中正确的是（）

A、①④ B、②④ C、②③④ D、①②③④

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5. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 36 °$ ， $A D$ 、 $C E$ 是 $△ A B C$ 的两条角平分线， $B D = 3$ ， $P$ 是 $A D$ 上的一个动点，则线段 $B P + E P$ 最小值的是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7. 如图所示，在△ABC中，点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC的距离OD是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B$ 的垂直平分线与 $∠ A C B$ 的外角平分线交于点D ， $D E ⊥ A C$ 于点E ， $D F ⊥ B C$ 交 $B C$ 的延长线于点F ，则下列结论：① $△ A D E ≌ △ B D F$ ；② $∠ D C F = 90 ° - \frac{1}{2} ∠ B D A$ ；③ $∠ B A C = ∠ C D B$ ；④若 $A E = 10$ ， $C E = 4$ ，则 $B C = 6$ ，其中一定成立的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

9. 如图，∠AOB＝75°，∠BOC＝15°，OD是∠AOC的平分线，则∠BOD的度数为．

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 9 c m$ ， CD是 $∠ A C B$ 的平分线， $D E ⊥ A C$ 于点E ， $D E = 2 c m$ .则 $△ B C D$ 的面积为 $c m^{2}$ .

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11. 如图， $B D$ 为 $△ A B C$ 的角平分线，且 $B D = B C$ ， $E$ 为 $B D$ 延长线上一点， $B A = B E$ ．
⑴若 $∠ B C D = 75 °$ ，则 $∠ A C E$ 的度数是．
⑵若 $∠ B C E = α$ ， $∠ A C E = β$ ，则 $α$ ， $β$ 之间的数量关系是．

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12. 如图，△ABC中，∠A＝90°，角平分线BD、CE交于点I，IF⊥CE交CA于F，下列结论：①∠DIF＝45°；②CF
+BE=BC；③若AB＝3，AC＝4，则 $A F = \frac{3}{4}$ .其中正确的是．

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13. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ， $A B = 10$ ， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线．若 $P$ ， $Q$ 分别是 $A D$ 和 $A C$ 上的动点，则 $P C + P Q$ 的最小值是．

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三、解答题

14. 点 $O$ 为直线 $A B$ 上一点，过点 $O$ 作射线 $O C$ ，使 $∠ B O C = 65 °$ ，将一直角三角板的直角顶点放在点 $O$ 处．

(1)、如图1，将三角板 $M O N$ 的一边 $O N$ 与射线 $O B$ 重合时，则 $∠ M O C =$ $°$ ；

(2)、如图2，将三角板 $M O N$ 绕点 $O$ 逆时针旋转一定角度，此时 $O C$ 是 $∠ M O B$ 的角平分线，求旋转角 $∠ B O N$ 的度数和 $∠ C O N$ 的度数；

(3)、将三角板 $M O N$ 绕点 $O$ 逆时针旋转过程中，当 $∠ N O C = \frac{1}{3} ∠ A O M$ 时，直接写出 $∠ N O C$ 的度数．

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15. 如图1，点 $A$ 、 $B$ 分别在射线 $O M$ 、 $O N$ 上运动（不与点 $O$ 重合）， $A C$ 、 $B C$ 分别是 $∠ B A O$ 和 $∠ A B O$ 的角平分线， $B C$ 延长线交 $O M$ 于点 $G$ ．

(1)、若 $∠ M O N = 70 °$ ，则 $∠ A C G =$ （直接写出答案）

(2)、若 $∠ M O N = n °$ ，求出 $∠ A C G$ 的度数（用含 $n$ 的代数式表示并写出理由）

(3)、如图2，若 $∠ M O N = 80 °$ ，过点 $C$ 作 $C F ∥ O A$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，求 $∠ B G O$ 与 $∠ A C F$ 的数量关系．

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四、综合题

16.

(1)、如图 $1$ ，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ ， $∠ A C B$ 的角平分线交于点 $O$ ，则 $∠ B O C = \frac{1}{2} \times 180^{\circ} + \frac{1}{2} ∠ A = 90^{\circ} + \frac{1}{2} ∠ A .$ 如图 $2$ ，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ ， $∠ A C B$ 的两条三等分角线分别对应交于 $O_{1}$ ， $O_{2}$ ，求证： $∠ B O_{1} C = 120^{\circ} + \frac{1}{3} ∠ A$ ．

(2)、如图 $3$ ，当 $∠ A B C$ 、 $∠ A C B$ 被 $n$ 等分时，内部有 $(n - 1)$ 个点，则 $∠ B O_{1} C$ 与 $∠ A$ 的关系为： $∠ B O_{1} C =$ $($ 用含 $n$ 的代数式表示 $)$

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $A D$ 是 $B C$ 边上的高，点 $E$ 是边 $A B$ 上的一动点 $($ 不与点 $A$ ， $B$ 重合 $)$ ，连接 $C E$ 交 $A D$ 于点 $F .$ 将线段 $C F$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $C G$ ，连接 $A G$ ．

(1)、如图 $1$ ，当 $C E$ 是 $∠ A C B$ 的角平分线时，
$①$ 求证： $A E = A F$ ；
$②$ 直接写出 $∠ C A G =$ $° .$

(2)、依题意补全图 $2$ ，用等式表示线段 $A F$ ， $A C$ ， $A G$ 之间的数量关系，并证明．

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