2023-2024学年湘教版初中数八年级下册 1.3 直角三角形全等的判定同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-01-27 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，已知 $∠ B C A = ∠ B D A = 90 °$ ， $B C = B D .$ 则证明 $△ B A C$ ≌ $△ B A D$ 的理由是（）

A、 $S A S$ B、 $A S A$ C、 $A A S$ D、 $H L$

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2. 如图，在∠ACB的两边上分别取点A，B使得CA=CB，将两个全等的直角三角板的直角顶点分别放在点A，B处，一条直角边分别落在∠ACB的两边上，另一条直角边交于点P，连接CP，则判定△ACP≌△BCP的依据是（　　）

A、AAS B、ASA C、SSS D、HL

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3. 如图，AB⊥CF ，垂足为B ， DE⊥CF ，垂足为E ， CB＝FE ， AC＝DF ，依据上述条件可以判定△ABC≌△DEF ，这种判定三角形全等的依据是（　　）

A、AAS B、ASA C、SSS D、HL

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D在边 $B C$ 上， $D B = D C$ ， $D E ⊥ A B$ ， $D F ⊥ A C$ ，垂足分别为E，F， $D E = D F$ .
求证： $R t △ D E B ≌ R t △ D F C$ .以下是排乱的证明过程：
①∵在 $R t △ D E B$ 和 $R t △ D F C$ 中， ${\begin{array}{l} D B = D C \\ D E = D F \end{array}$
②∴ $R t △ D E B ≌ R t △ D F C (H L)$ .
③∴ $∠ B E D = ∠ C F D = 90 °$ ，
④∵ $D E ⊥ A B$ ， $D F ⊥ A C$ ，
证明过程正确的顺序是（）

A、④→②→③→① B、④→③→①→② C、③→②→①→④ D、③→①→④→②

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{°} ， D E ⊥ A B$ 于点 $D ， B C = B D$ .如果 $A C = 4 c m$ ，那么 $A E +$ $D E =$ （）

A、 $2 c m$ B、 $4 c m$ C、 $3 c m$ D、 $5 c m$

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6. 如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，BE＝EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出以下结论：①△DAG≌△DFG；②BG＝2AG；③BF//DE；④S_△BEF＝ $\frac{72}{5}$ .其中所有正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，延长BC到E，使CE＝ $\frac{1}{2}$ BC，F是AC的中点，连接EF并延长EF交AB于G，BG的垂直平分线分别交BG，AD于点M，点N，连接GN，CN，下列结论：①∠ACN＝∠BCN；②GF＝ $\frac{1}{2}$ EF；③∠GNC＝120°；④GM＝CN；⑤EG⊥AB，其中正确的个数是（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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8. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 4 \sqrt{3}$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点，连接 $B E$ ，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 所在直线翻折至四边形 $B C D E$ 所在平面内，得 $△ A^{^{'}} B E$ ，延长 $B A^{'}$ 与 $C D$ 交于点 $F$ ，若 $D F = 3 C F$ ，则四边形 $A^{'} E D F$ 的面积为（）

A、 $6 \sqrt{3}$ B、8 $\sqrt{3}$ C、12 $\sqrt{3}$ D、16 $\sqrt{3}$

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二、填空题

9. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，若DE=3cm，则BF=cm．

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10. 如图，有一个 $R t △ A B C$ ， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 16$ ， $B C = 8$ ，一条线段 $M N = A B$ ， $M$ ， $N$ 分别在 $A C$ 和过 $A$ 点且垂直于 $A C$ 的射线 $A P$ 上运动， $A M =$ 时，才能使 $△ A B C$ 与 $△ A M N$ 全等．

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11. 如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{°} ， A C = 10$ ， $B C = 5 ， P Q = A B ， P ， Q$ 两点分别在AC和过点 $A$ 且垂直于AC的射线AO上运动，当 $A P =$ 时， $△ A B C$ 和 $△ P Q A$ 全等.

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12. 如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝73°，若点P是等腰△ABC的腰上的一点，则当△EDP为以DE为腰的等腰三角形时，∠EDP的度数是.

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13. 如图， $B D$ 为 $△ A B C$ 的角平分线，且 $B D = B C$ ， $E$ 为 $B D$ 延长线上一点， $B E = B A$ ，过 $E$ 作 $E F ⊥ A B$ 于 $F$ ，下列结论：
① $∠ B C E + ∠ B D C = 180 °$ ；② $A D = A E = E C$ ；③ $A B / / C E$ ；④ $B A + B C = 2 B F$ .

其中正确的序号是.

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三、解答题

14. 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，CE=CF.求证：AE=AF.

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15. 如图1，已知等边△ABC ，以B为直角顶点向右作等腰直角△BCD ，连接AD ．

(1)、若 $A C = 8 \sqrt{3}$ ，求点D到AB边的距离；

(2)、如图2，过点B作AD的垂线，分别交AD ， CD于点E ， F ，探索EF ， CF ， BE之间的数量关系并证明；

(3)、如图3，点M ， N分别为线段AD ， BD上一点，AM＝BN ，连接CM ， CN ，若 $A C = 6 \sqrt{2}$ ，当CM＋CN取得最小值时，直接写出△ACM的面积．（提示：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方）

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四、综合题

16. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为AC边上中点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF．

(1)、求证： $△ A B C$ 为等边三角形；

(2)、连接 $B D$ ，线段 $D F = 1.8 c m$ ，求线段 $B D$ 的长．

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17. 在长方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A D$ 中点，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折叠后得到对应的 $△ G B E$ ，将 $B G$ 延长交直线 $D C$ 于点 $F$ ．

(1)、如果点 $G$ 在长方形 $A B C D$ 的内部，如图 $①$ 所示．
①求证： $G F = D F$ ；
②若 $D F = \frac{2}{3} C D$ ， $A D = 4$ ，求 $A B$ 的长度．

(2)、如果点 $G$ 在长方形 $A B C D$ 的外部，如图 $②$ 所示， $A D = k A B (k > 2)$ ，请用含 $k$ 的代数式表示 $\frac{D F}{C D}$ 的值．

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