2023-2024学年湘教版初中数八年级下册 1.2 直角三角形的性质与判定（Ⅱ）同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-01-27 类型：同步测试

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一、选择题

1. $△ A B C$ 的三条边是 $a ， b ， c$ ，下列条件不能判断 $△ A B C$ 是直角三角形的是（）

A、 $∠ A ： ∠ B ： ∠ C = 3 ： 4 ： 5$ B、 $∠ A + ∠ B = ∠ C$ C、 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ D、 $a = 13 ， b = 12 ， c = 5$

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{17}$ ， $B C = 7$ ， $A C = 2 \sqrt{13}$ ，在线段BC上有一点D ， $C D = 3$ ，连接AD ，则 $△ A B D$ 的面积为（）

A、4 B、8 C、 $\frac{15}{2}$ D、10

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3. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD ，对角线AC ， BD交于点O ．若 $A D = 1$ ， $B C = 4$ ，则 $A B^{2} + C D^{2}$ 等于（）

A、15 B、16 C、17 D、20

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4. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kŭn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙 $C D = 2$ 寸，点 $C$ 、点 $D$ 与门槛 $A B$ 的距离 $C E = D F = 1$ 尺（1尺 $= 10$ 寸），则 $A B$ 的长是（）

A、26寸 B、50.5寸 C、52寸 D、101寸

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5. 在学习勾股定理时，小明利用如图验证了勾股定理.若图中 $a = 3$ ， $b = 4$ ，则阴影部分直角三角形的面积为（）

A、5 B、25 C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{25}{2}$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中，边 $A B$ 的垂直平分线分别交 $A B$ ， $B C$ 于点 $M$ ， $E$ ，边 $A C$ 的垂直平分线分别交 $A C$ ， BC于点N ， F ， $△ A E F$ 的周长为9.若 $∠ B + ∠ C = 4 5^{∘}$ ， $E F = 4$ ，则 $△ A E F$ 的面积为（）

A、 $\frac{9}{4}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、5 D、 $\frac{5}{2}$

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7. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为（-6，4）；Rt△COD中，∠COD＝90°，OD＝4 $\sqrt{3}$ ， ∠D＝30°，连接BC，点M是BC中点，连接AM．将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是（）

A、3 B、6 $\sqrt{2}$ -4 C、2 $\sqrt{13}$ -2 D、2

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8. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ．若 $S_{1} + S_{2} + S_{3} = 12$ ，则下列关于 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 的说法正确的是（）

A、 $S_{1} = 2$ B、 $S_{2} = 3$ C、 $S_{1} + S_{2} = 6$ D、 $S_{1} + S_{3} = 8$

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二、填空题

9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ，以C为圆心， $B C$ 为半径画弧，交 $A B$ 于点D ，再分别以 $B ， D$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} B D$ 为半径画弧，两弧相交于点M ，作直线 $C M$ 交 $A B$ 于点E ．若 $B E = 2$ ，则 $△ B C E$ 的面积是．

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10. 如图，长方形 $A B C D$ 的边 $A B$ 长为3， $A D$ 长为1，在数轴上点A对应的数为 $- 1$ ，点B对应的数为2，以A为圆心， $A C$ 长为半径画弧，交数轴于点E ，则E点表示的数为．

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11. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=4，BC=2.运动过程中点D到点O的最大距离是.

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12. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，点D ， E ， F分别是线段AC ， AB ， DC的中点，下列结论：①△EFB为等边三角形．②S_四边形_DFBE＝ $\frac{1}{2}$ S_△_A_BC ． ③AE＝2DF ． ④AC＝8DG ．其中正确的是．

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13. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ B A D = 90 ° ， A B = 5 ， A D = 4 ， A D < B C$ ，点E在线段 $B C$ 上运动，点F在线段 $A E$ 上， $∠ A D F = ∠ B A E$ ，则线段 $B F$ 的最小值为．

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三、解答题

14. 2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径 $250 k m$ （即以台风中心为圆心， $250 k m$ 为半径的圆形区域都会受台风的影响）．如图，线段BC是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且 $A B ⊥ A C$ ．若A ， C两地相距 $300 k m$ ， A ， B两地相距 $400 k m$ ．

(1)、农场A是否会受到台风的影响？请说明理由；

(2)、若台风中心的移动速度为 $25 k m / h$ ，则该农场受台风影响的持续时间有多长？

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15. 如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G．

(1)、求证：△ACF≌△CBG；

(2)、如图2，延长CG交AB于H，连接AG交CF于点M，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；

(3)、在（2）问的条件下，当∠FCH＝2∠GAC时，若BG＝4，求AM的长．

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四、综合题

16. 如图，△ABC中，BA=BC，CO⊥AB于点O，AO=4，BO=6.

(1)、求BC，AC的长；

(2)、若点D是射线OB上的一个动点，作直线DE⊥AC于点E，直线DE与直线BC交于点F.
①如图1，当点D在线段OB上时，求证：△BDF是等腰三角形；
②连结OF，CD，若S_△_OBF：S_△_OBC=1：2，求CD的长.

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17. 阅读下面材料，并解决问题：

(1)、如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝；

(2)、基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：

已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF²＝BE²+FC²；

(3)、能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．

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