2023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 2.2.2 完全平方公式同步分层训练基础题

试卷更新日期：2024-01-26 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列各式中，与 ${(a - 1)}^{2}$ 相等的是（）

A、 $a^{2} - 1$ B、 $a^{2} - 2 a + 1$ C、 $a^{2} - 2 a - 1$ D、 $a^{2} + 1$

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2. 如图1是一个长为 $2 a$ ，宽为 $2 b (a > b)$ 的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积为（）

A、 $a b$ B、 ${(a + b)}^{2}$ C、 ${(a - b)}^{2}$ D、 $a^{2} - b^{2}$

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3. 将9.5²变形正确的是（）

A、9.5²=9²+0.5² ． B、9.5²=（10+0.5）（10- 0.5）． C、9.5²=10²-2×10×0.5+0.5² ． D、9.5²=9²+9×0.5+0.5² ．

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4. 已知实数x满足（x²﹣2x+1）²+2（x²﹣2x+1）﹣3＝0，那么x²﹣2x+1的值为（　　）

A、﹣1或3 B、﹣3或1 C、3 D、1

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5. 已知x²＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于( )

A、64 B、48 C、32 D、16

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6. 用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为 $a + 2 b$ 的正方形，需要 $B$ 类卡片的张数为（）

A、6 B、2 C、3 D、4

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7. 如图，在正方形ABCD中，P是线段AC上任意一点，过点P分别作EF∥AD，MN∥AB．设正方形AEPM和正方形CFPN的面积之和为S₁ ，其余部分(即图中两阴影部分)的面积之和为S₂ ，则S₁与S₂的大小关系是（）

A、S₁>S₂ B、S₁≥S₂ C、S₁<S₂ D、S₁≤S₂

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8. 如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长(x>y) ．则①x-y=n；②xy= $\frac{m^{2} - n^{2}}{4}$ ；③x²-y²=mn；④x²+y²= $\frac{m^{2} - n^{2}}{2}$ ，中正确的是（）

A、①②③ B、①②④ C、①③ D、①②③④

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二、填空题

9. 若 $m - \frac{1}{m} = 3$ ，则 $m^{2} + \frac{1}{m^{2}} =$ ．

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10. 已知正方形的面积是 $(16 - 8 x + x^{2}) c m^{2} (x > 4)$ ，则正方形的周长是cm．

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11. 若 $(x - 2022)^{2} + (x - 2024)^{2} = 100$ ，则 $(x - 2023)^{2} =$ ．

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12. 已知实数 $a$ 、 $b$ 满足， $| a + b - 3 | + {(a b - 2)}^{2} = 0$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 值为．

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13. 如图，有两个边长分别为a ， b（ $a > b > 0$ ）正方形纸板A ， B ，纸板A与B的面积之和为34．现将纸板B按甲方式放在纸板A的内部，阴影部分的面积为4．

① $a b =$ ．
② 若将纸板A ， B按乙方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为．

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三、解答题

14. 已知a+b=5，ab=-6，求下列各式的值：

(1)、a²+b² ．

(2)、(a-b)² ．

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15. 如图，图①是一个长为2m，宽为2n的长方形．沿图中虚线把它分割成四块完全相同的小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．

(1)、求图②中阴影部分的面积．

(2)、观察图②，发现三个代数式(m+n)² ， (m-n)² ， mm之间的等量关系是．

(3)、观察图③，你能得到怎样的代数恒等式？

(4)、试画出一个几何图形，使它的面积能表示代数恒等式(m+n)(m+4n)=m²+5mn+4n² ．

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四、综合题

16.
阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 $3 + 2 \sqrt{2} = (1 + \sqrt{2})^{2}$ 善于思考的小明进行了以下探索：设 $a + b \sqrt{2} = (m + n \sqrt{2})^{2}$ ， $($ 其中 $a$ 、 $b$ 、 $m$ 、 $n$ 均为整数 $)$ ，则有 $a + b \sqrt{2} = m^{2} + 2 n^{2} + 2 m n \sqrt{2}$ ， $∴ a = m^{2} + 2 n^{2}$ ， $b = 2 m n .$ 这样小明就找到了一种把类似 $a + b \sqrt{2}$ 的式子化为平方式的方法 $.$ 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)、当 $a$ 、 $b$ 、 $m$ 、 $n$ 均为整数时，若 $a + b \sqrt{5} = (m + n \sqrt{5})^{2}$ ，用含 $m$ 、 $n$ 的式子分别表示 $a$ 、 $b$ ，得： $a =$ ， $b =$ ．

(2)、利用所探索的结论，找一组正整数 $a$ 、 $b$ 、 $m$ 、 $n$ ，填空： $+$ $\sqrt{5} = ($ $+$ $\sqrt{5})^{2}$ ．

(3)、若 $a + 6 \sqrt{5} = (m + n \sqrt{5})^{2}$ ，且 $a$ 、 $m$ 、 $n$ 均为正整数，求 $a$ 的值．

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