2023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 2.2.1 平方差公式同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-01-26 类型：同步测试

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一、选择题

1. 若k为任意整数，则 $(2 k + 3)^{2} - 4 k^{2}$ 的值总能（）

A、被2整除 B、被3整除 C、被5整除 D、被7整除

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2. 对于(2a+3b-1)(2a-3b+1)，为了用平方差公式计算，下列变形正确的是（）

A、[2a-(3b+1)]² B、[2a+(3b-1)][2a-(3b-1)] C、[(2a-3b)+1][(2a-3b)-1] D、[2a-(3b-1]²

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3. 从边长为 $a$ 的大正方形纸板挖去一个边长为 $b$ 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（）

A、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$ B、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ C、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ D、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

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4. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图1），把余下的部分拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（　　）

A、（a+b）²＝a²+2ab+b² B、（a﹣b）²＝a²﹣2ab+b² C、（a+2b）（a﹣b）＝a²+ab﹣2b² D、a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b）

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5. 如图，阴影部分是在一个边长为 $a$ 的大正方形中剪去一个边长为 $b$ 的小正方形后得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列四种割拼方法，每种割拼方法都能够验证平方差公式，其中用到的数学思想是（）

A、数形结合思想 B、整体思想 C、公理化思想 D、方程思想

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6. 式子 $(2 + 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1) (2^{8} + 1) ⋯ ⋯ (2^{1010} + 1) + 1$ 化简的结果为（）

A、 $2^{1010}$ B、 $2^{1010} + 1$ C、 $2^{2020}$ D、 $2^{2020} + 1$

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7. （2+1）（2²+1）（2⁴+1）…（2¹⁶+1）的结果为（）

A、2³²-1 B、2³²+1 C、2³² D、2¹⁶

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8. 如图，把一块面积为100的大长方形木板被分割成2个大小一样的大正方形①，1个小正方形②和2个大小一样的长方形③后，如图摆放，且每个小长方形③的面积为16，则标号为②的正方形的面积是（）

A、16 B、14 C、12 D、10

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二、填空题

9. 若 $a - b = 1$ ，则代数式 $a^{2} - b^{2} - 2 b$ 的值为．

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10. 某学校改造一个边长为5x米的正方形花坛，经规划后，南北向要缩短3米，东西向要加长3米，则改造后花坛的面积是平方米，改造后花坛的面积减少了平方米．

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11. 如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩下部分沿图中虚线剪开后拼成如图②所示的梯形、通过计算图①、图②中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式为．

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12. 观察下列各式的规律： $1 \times 3 = 2^{2} - 1$ ； $3 \times 5 = 4^{2} - 1$ ； $5 \times 7 = 6^{2} - 1$ ； $7 \times 9 = 8^{2} - 1 \dots$ 请将发现的规律用含 $n$ 的式子表示为．

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13. 若一个四位正整数 $a b c d$ 满足：a+c＝b+d ，我们就称该数是“交替数”，则最小的“交替数”是；若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除．则满足条件的“交替数”m的最大值为．

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三、解答题

14. 如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．

(1)、设图1中阴影部分的面积为 $S_{1}$ ，图2中阴影部分的面积为 $S_{2}$ ，则 $S_{1} =$ ， $S_{2} =$ （请用含a ， b的代数式表示，只需表示，不必化简）．

(2)、以上结果可以验证哪个乘法公式？这个乘法公式是

(3)、运用（2）中得到的公式，计算： $(2 + 1) \times (2^{2} + 1) \times (2^{4} + 1) \times (2^{8} + 1)$ ．

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15. 观察以下等式：
第1个等式： $3^{2} - 1^{2} = 8 = 8 \times 1$ ；
第2个等式： $5^{2} - 3^{2} = 16 = 8 \times 2$ ；
第3个等式： $7^{2} - 5^{2} = 24 = 8 \times 3$ ；
第4个等式： $9^{2} - 7^{2} = 32 = 8 \times 4$ ；
……
按照以上规律，解决下列问题：

(1)、写出第5个等式：．

(2)、写出你猜想的第 $n$ 个等式（用含 $n$ 的式子表示），并证明．

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四、综合题

16. 关于任意实数 $a ， b$ 存在一种新运算 $" * " ， a * b$ 有如下结果：
      $3 * 1 = 9 + 1 = 10 ；$

      $3 * (- 2) = 9 - 2 = 7 ；$

$(- 4) * 2 = 16 + 2 = 18$ ；

      $(- 5)^{*} (- 2) = 25 - 2 = 23 .$

按你发现的规律探索：

(1)、 $a * b =$ .(用 $a ， b$ 的代数式表示).

(2)、当 $a * b = b * a (a \neq b)$ 成立时，求 $a ， b$ 满足的关系式.

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17. 如图1，边长为 $a$ 的大正方形中有一个边长为 $b$ 的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）.

(1)、根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：____（选择正确的一个）

A、 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ B、 $a^{2} + a b = a (a + b)$ C、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ D、 ${(a - b)}^{2} = {(a + b)}^{2} - 4 a b$

(2)、请应用（1）中的等式，解答下列问题：
①计算： $2022 \times 2024 - 202 3^{2}$

②计算： $3 (2^{2} + 1) (2^{4} + 1) (2^{8} + 1) \cdot \cdot \cdot (2^{64} + 1) + 1$ .

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