2023-2024学年湘教版初中数学七年级下册 1.2.2 加减消元法同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-01-26 类型：同步测试

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一、选择题

1. 解方程组 ${\begin{cases} 3 x + 4 y = 12 \\ 3 x - 5 y = - 6 \end{cases}$ ，最简便的方法为（）

A、代入法 B、加减法 C、换元法 D、三种方法一样简便

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2. 已知关于x，y的方程组 ${\begin{cases} m x + 3 y = 9 \\ 2 x - y = 1 \end{cases}$ 无解，则m的值是（）

A、9 B、6 C、-6 D、-9

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3. 在解关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 6 x + ⊚ y = 3 ① \\ 2 x + ☆ y = - 6 ② \end{array}$ 时，若①-②可直接消去一个未知数，则 $⊚$ 和 $☆$ 的关系是（）

A、 $⊚ = ☆$ B、 $⊚ + ☆ = 0$ C、 $⊚ + ☆ = 1$ D、 $⊚ \times ☆ = 1$

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4. 若 ${\begin{array}{l} a = 2 \\ b = 1 \end{array}$ 是二元一次方程组 ${\begin{array}{l} \frac{3}{2} a x + b y = 5 \\ a x - b y = 2 \end{array}$ 的解，则 $x + 2 y$ 为（）

A、 $2$ B、 $- 3$ C、 $3$ D、 $- 2$

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5. 如果两数 $x$ 、 $y$ 满足 ${\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 11 \\ 3 x + 2 y = 14 \end{array}$ ，那么 $(x + y) (x - y)$ 的值为（）

A、 $5$ B、 $10$ C、 $15$ D、 $25$

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6. 已知关于x，y的方程组 ${\begin{matrix} x + 2 y = k \\ 2 x + 3 y = 3 k - 1 \end{matrix}$ ，以下结论：①当k=0时，方程组的解也是方程 $x - 2 y = - 4$ 的解；②存在实数k，使得x+y=0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若3x+2y=6则k=1.其中正确的是（）

A、①②③ B、①②④ C、①③ D、①②

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7. 定义：如果代数式 $A = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ ( $a_{1} \neq 0$ ， $a_{1}$ ， $b_{1}$ ， $c_{1}$ 是常数)与 $B = a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2}$ ( $a_{2} \neq 0$ ， $a_{2}$ ， $b_{2}$ ， $c_{2}$ 是常数)，满足 $a_{1} + a_{2} = 0$ ， $b_{1} + b_{2} = 0$ ， $c_{1} + c_{2} = 0$ ，则称这两个代数式 $A$ 与 $B$ 互为“和谐式”，对于上述“和谐式” $A$ 、 $B$ ，下列三个结论正确的个数为（）
①若 $A = - x^{2} - \frac{4}{3} m x - 2$ ， $B = x^{2} - 2 n x + n$ ，则 $(m + n)^{2023}$ 的值为-1；
②若 $k$ 为常数，关于 $x$ 的方程 $A = k$ 与 $B = k$ 的解相同，则 $k = 0$ ；
③若 $p$ ， $q$ 为常数， $p A + q B$ 的最小值为 $p - q$ ，则 $A$ 有最小值，且最小值为1.

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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二、填空题

8. 已知关于x，y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} x + 3 y = - m + 1 \\ 3 x + y = m + 3 \end{array}$ ，则 $x + y =$ ．

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9. 已知 $\frac{2 a + b}{3} = \frac{3 a - 2 b}{8}$ =3，则a= ．

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10. 对X，Y定义一种新运算“*"：X*Y=aX+bY，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算，已知3*5=15，4*7=28，那么2*3=

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11. 若方程组 ${\begin{matrix} a_{1} x + y = c_{1} \\ a_{2} x + y = c_{2} \end{matrix}$ 的解是 ${\begin{matrix} x = 2 \\ y = 3 \end{matrix}$ ，则方程组 ${\begin{matrix} a_{1} x + y = a_{1} - c_{1} \\ a_{2} x + y = a_{2} - c_{2} \end{matrix}$ 的解是，x＝， y＝．

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12. 若关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} a x + b y = m \\ c x + d y = n \end{array}$ 与 ${\begin{array}{l} (a + 1) x + (b + 2) y = m + 2 \\ (c + 3) x + (d + 4) y = n + 5 \end{array}$ 有相同的解，则这个解是．

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三、解答题

13. 甲、乙两人同时解方程组 ${\begin{cases} a x + b y = 15 (1) \\ 4 x = b y - 2 (2) \end{cases}$ 时，甲看错了方程(1)中的a，解得 ${\begin{cases} x = - 3 \\ y = - 1 \end{cases}$ ，乙看错了(2)中的b，解得 ${\begin{cases} x = 5 \\ y = 4 \end{cases}$ ，求原方程组的正确解．

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14. 定义：以二元一次方程 $a x + b y = c$ 的解为坐标的点 $(x ， y)$ 的全体叫做这个方程的图象，这些点叫做该图象的关联点．

(1)、在 $① (- 1 ， \frac{5}{4})$ ； $② (1 ， \frac{1}{2})$ ； $③ (- 2 ， 2)$ 三点中，是方程 $3 x + 4 y = 2$ 图象的关联点有； $($ 填序号 $)$

(2)、已知 $A$ ， $C$ 两点是方程 $3 x + 4 y = 2$ 图象的关联点， $B$ ， $C$ 两点是方程 $2 x - y = 5$ 图象的关联点 $.$ 若点 $A$ 在 $x$ 轴上，点 $B$ 在 $y$ 轴上，求四边形 $A O B C$ 的面积．

(3)、若 $M (m ， n)$ ， $N (m + 1 ， n - 1)$ ， $P (p ， q)$ 三点是二元一次方程 $a x + b y = c$ 图象的关联点，探究 $m + n$ 与 $p + q$ 的大小．

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四、计算题

15.

(1)、解方程组： ${\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} - 11 = 0 \\ \sqrt{2} x - 4 y + 10 = 0 \end{array}$

(2)、 ${\begin{array}{l} (x + 3) (y - 2) = (x - 3) (y + 10) \\ (x - 1) (y + 3) = (x + 2) (y + 12) \end{array}$

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五、综合题

16. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为 $(a ， - a)$ ，点B坐标为 $(b ， c)$ ， a，b，c满足 $| a + c - 4 | + {(a - b)}^{2} = 0$ ．

(1)、求B坐标（用含a的式子表示）；

(2)、求线段AB长度；

(3)、若两个动点 $M (2 m ， 3 m - 5) ， N (n - 1 ， - 2 n - 3)$ ．请你探索是否存在以两个动点M、N为端点的线段 $M N ⊥ A B$ ，且 $M N = \frac{1}{2} A B$ ．若存在，请求出M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由．

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17. 阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程2x+3y＝12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．其方法为：由2x+3y＝12可得y $= \frac{12 - 2 x}{3} = 4 - \frac{2}{3}$ x（x、y为正整数），要使y＝4 $- \frac{2}{3}$ x为正整数，则 $\frac{2}{3}$ x为整数，所以x必须为3的倍数，从而得到x＝3，代入得y＝4 $- \frac{2}{3}$ x＝2．所以2x+3y＝12的正整数解为 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 2 \end{array}$ 问题：

(1)、请你直接写出方程3x+2y＝8的正整数解；

(2)、若 $\frac{6}{x - 3}$ 为自然数，求出满足条件的正整数x的值；

(3)、关于x，y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} x + 2 y = 9 \\ 2 x + k y = 10 \end{array}$ 的解是正整数，求整数k的值．

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