2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学九年级下册 27.2.3 相似三角形应用举例同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-01-26 类型：同步测试

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一、选择题

1. 图，电灯 $P$ 在横杆 $A B$ 的正上方， $A B$ 在灯光下的影子为 $C D$ ， $A B ∥ C D$ ， $A B = 3$ 米， $C D = 5$ 米，点 $P$ 到 $A B$ 的距离是2.4米，则 $P$ 到 $C D$ 的距离为（）

A、3.6米 B、4米 C、5米 D、5.4米

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2. 如图，放映幻灯片时通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为(　　)

A、6cm B、12cm C、18cm D、24cm

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3. 路边有一根电线杆AB和一块长方形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知BC=5米，长方形广告牌的长HF=4米，高HC=3米，DE=4米，则电线杆AB的高度是（）

A、6.75米 B、7.75米 C、8.25米 D、10.75米

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4. 如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（）

A、0.36 $π$ 平方米 B、0. 81 $π$ 平方米 C、2 $π$ 平方米 D、3.24 $π$ 平方米

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5. 如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1 m，继续往前走3 m到达E处时，测得影子EF的长为2 m.已知王华的身高是1.5 m，那么路灯A的高度AB等于（）

A、4.5 m B、6 m C、7.2 m D、8 m

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6.
如图，正方形ABCD的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠DPE=90°，PE交AB于点E，设BP=x，BE=y，则y关于x的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使 $D E ： A D = 1 ： 3$ ，连结EF交DC于点G，则 $S_{△ D E G} ： S_{Δ C F G}$ ＝（）

A、2：3 B、3：2 C、9：4 D、4：9

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8. 如图，将 $Δ A B C$ 沿 $B C$ 边上的中线 $A D$ 平移到 $Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的位置．已知 $Δ A B C$ 的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若 $A A^{'} = 1$ ，则 $A^{'} D$ 等于（）

A、2 B、3 C、4 D、 $\frac{3}{2}$

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二、填空题

9. 如图，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，已知小艺的眼睛离地面高度为1.6米，同时量得小艺与镜子的水平距离为2米，镜子与旗杆的水平距离为10米．则旗杆的高度为米．

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10. 如图，小亮同学跳起来把一个排球打在离他2米（即CO＝2米）远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是1.8米（即AC＝1.8米），排球落地点离墙的距离是7米（即OD＝7米），假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度BD的长是米．

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11. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，阐释了光的直线传播原理，如图①所示．如图②所示的小孔成像实验中，若物距为 $10 c m$ ，像距为 $15 c m$ ，蜡烛火焰倒立的像的高度是 $9 c m$ ，则蜡烛火焰的高度是 $c m$ ．
图① 图②

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12. 如图，‘ABC中，AB=AC ， AD」BC于点D，DE平分经ADC ，交AC与点E，EF」AB于点F，且交AD-于点G，若AG=2，BC=12，则AD= ， AF=.

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13. 如图，等腰三角形 $A B C ， ∠ B A C = 12 0^{°} ， A B = A C = 6$ .点 $D$ 在BC上，AC沿AD翻折交BC于点 $E$ ，点 $F$ 在AB上，EB沿EF翻折，使得 $B^{^{'}} ， A ， E ， C^{^{'}}$ 在一条直线上.若 $△ A C E ~ △ F B^{'} A$ ，则CE的值为.

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三、解答题

14. 如图，平台AB上有一棵直立的大树CD，平台的边缘B处有一棵直立的小树BE，平台边缘B外有一个向下的斜坡BG.小明想利用数学课上学习的知识测量大树CD的高度.一天，他发现大树的影子一部分落在平台CB上，一部分落在斜坡上，而且大树的顶端D与小树顶端E的影子恰好重合，且都落在斜坡上的F处，经测量，CB长5 $\sqrt{3}$ 米，BF长2米，小树BE高1.8米，斜坡BG与平台AB所成的∠ABG＝150°.请你帮小明求出大树CD的高度.

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15. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 2$ ，动点 $P$ 从点 $A$ 开始以每秒2个单位长度沿 $A B$ 向终点 $B$ 运动，同时，动点 $Q$ 从点 $C$ 开始沿 $C - D - A$ 以每秒3个单位长度向终点 $A$ 运动，它们同时到达终点．连接 $P Q$ 交 $A C$ 于点 $E$ ．过点 $E$ 作 $E F ⊥ P Q$ ，交直线 $C D$ 于点 $F$ ．

备用图

(1)、当点 $Q$ 在线段 $C D$ 上时，求证： $\frac{C E}{A E} = \frac{3}{2}$ ．

(2)、当 $D Q = 1$ 时，求 $△ A P E$ 的面积．

(3)、在 $P$ ， $Q$ 的运动过程中，是否存在某一位置，使得以点 $E$ ， $F$ ， $Q$ 为顶点的三角形与 $△ A B C$ 相似？若存在，求 $B P$ 的长；若不存在，请说明理由．

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四、综合题

16. 我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图1，身高 $1.5 m$ 的小王晚上在路灯灯柱 $A H$ 下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，小王的步间距保持一致．

(1)、请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置．

(2)、估计路灯 $A O$ 的高，并求影长 $P Q$ 的步数．

(3)、无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图2，小明同学用自制的直角三角形纸板 $D E F$ 测量树的高度 $A B$ ，他调整自己的位置，设法使斜边 $D F$ 保持水平，并且边 $D E$ 与点B在同一直线上．测得 $D F = 0.5 m$ ， $E F = 0.3 m$ ， $C D = 10 m$ ，小明眼睛到地面的距离为 $1.5 m$ ，则树高 $A B$ 为m．

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17. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在圆上，点 $D$ 在圆外，点 $C$ 和点 $D$ 在直径 $A B$ 的同侧， $O D ⊥ O C ， ∠ A D O = ∠ B O C ， A C$ 与 $O D$ 相交于点 $E$ ．

(1)、求证： $A D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为4， $\tan ∠ B A C = \frac{1}{2}$ ，求 $△ A D E$ 的面积．

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