2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学九年级下册 27.2.2 相似三角形的性质同步分层训练基础题

试卷更新日期：2024-01-26 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图， $△ A B C$ 中，点D ， E分别在边 $A B ， A C$ 上．若 $\frac{A D}{A C} = \frac{A E}{A B} = \frac{2}{3}$ ， $B C = 2$ ，则 $D E$ 的长为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、3

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D E ∥ B C$ ， $\frac{A D}{A B} = \frac{1}{3}$ ，若 $S_{△ A B C} = 9$ ，则 $S_{四边形 B C E D}$ 等于（）

A、6 B、8 C、7 D、5

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3. 如图所示，四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 7$ ， $A D = 3$ ， $B C = 4$ ，若 $△ P A D$ 与 $△ P B C$ 相似，则符合条件的点 $P$ 个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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4. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 恰好经过点 $C$ ， $A C$ ， $D O$ 交于点 $E$ ，已知 $A C$ 平分 $∠ B A D$ ， $∠ A D C = 90 °$ ， $C D ： B C = 2 ： \sqrt{5}$ ，则 $C E ： A E$ 的值为（）

A、 $2 ： \sqrt{5}$ B、 $4 ： 5$ C、 $\sqrt{5} ： 2 \sqrt{2}$ D、 $5 ： 8$

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5. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成.作菱形CDEF，使点D，E，F分别在边OC，OB，BC上，过点 $E$ 作 $E H ⊥ A B$ 于点 $H$ .当 $A B = B C ， ∠ B O C =$ $3 0^{°} ， D E = 2$ 时，EH的长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{4}{3}$

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6. 将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形(剪掉的两个直角三角形相似)，剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中 $∠ A = 9 0^{°} ， A B = 9 ， B C =$ $7 ， C D = 6 ， A D = 2$ ，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（）.

A、 $\frac{25}{2}$ B、 $\frac{45}{4}$ C、10 D、 $\frac{35}{4}$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，在边 $B C$ 的延长线上取一点 $P$ ，过点 $P$ 的直线分别交 $A B$ ， $A C$ 的延长线于点 $D$ ， $E$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $\frac{B C}{D E} = \frac{P B}{P D}$ B、 $\frac{B C}{D E} = \frac{P E}{P C}$ C、 $\frac{P C}{P B} = \frac{C E}{B D}$ D、 $\frac{P E}{P D} = \frac{C E}{B D}$

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二、填空题

8. 已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个角分别为、，则另一个三角形中最小的内角为．

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9. 若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的周长比是．

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10. 已知 $△ A B C ∽ △ D E F$ ，其中顶点A、B、C分别对应顶点D、E、F ，如果 $∠ A = 45 °$ ， $∠ E = 60 °$ ，那么 $∠ C =$ $°$ .

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11. 有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点 $G$ 正好在书架边框上.每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架宽为40cm，则 $F I$ 的长.

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12. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $C D ⊥ A B$ ，垂足为D，若AD=2，BD=4，则CD为．

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三、解答题

13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C为 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点，延长AD，BC相交于点P，连结AC.

(1)、求证；AB=AP.

(2)、当AB=10，DP=2时，求线段CP的长.

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14. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ A B C > 90 °$ ，它的外角 $∠ E A C$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点D ，连接 $D B ， D C ， D B$ 交 $A C$ 于点F ．

(1)、若 $∠ E A D = 75 °$ ，求 $\overset{⌢}{B C}$ 的度数．

(2)、求证： $D B = D C$ ．

(3)、若 $D A = D F$ ，当 $∠ A B C = α$ ，求 $∠ D F C$ 的度数（用含 $α$ 的代数式表示）．

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四、综合题

15. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $B C$ 上一点， $D F ⊥ A E$ 于点 $F$ ．

(1)、证明 $△ A B E ∽ △ D F A$ ；

(2)、若 $A B = 3$ ， $A D = 6$ ， $B E = 4$ ，求 $D F$ 的长．

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16. 在 $▱ A B C D$ 中，E是DC的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F.

(1)、求证： $B C = C F$ ；

(2)、点G是CF上一点，连接AG交CD于点H，且 $∠ D A F = ∠ G A F$ .若 $C G = 2$ ， $G F = 5$ ，求AН的长.

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