2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学九年级下册 26.2 实际问题与反比例函数同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-01-26 类型：同步测试

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一、选择题

1. 购买 $x$ 斤水果需 $24$ 元，购买一斤水果的单价 $y$ 与 $x$ 的关系式是（）

A、 $y = \frac{24}{x} (x > 0)$ B、 $y = \frac{24}{x}$ （ $x$ 为自然数） C、 $y = \frac{24}{x}$ （ $x$ 为整数） D、 $y = \frac{24}{x}$ （ $x$ 为正整数）

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2. 小明学习了物理中的杠杆平衡原理发现：阻力 $\times$ 阻力臂 $=$ 动力 $\times$ 动力臂．现已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为2400N和1m，则动力 $F$ （单位：N）关于动力臂 $l$ （单位：m）的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 某市举行中学生数学知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率(该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值)y与该校参加竞赛人数x的情况，.其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次数学知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（）.

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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4.
如图，已知直线y=﹣x+4与两坐标轴分别相交于点A，B两点，点C是线段AB上任意一点，过C分别作CD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E．双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 与CD，CE分别交于点P，Q两点，若四边形ODCE为正方形，且 $S_{△ O P Q} = \frac{3}{2}$ ，则k的值是（）

A、4 B、2 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{3}$

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5.
如图，点A是反比例函数y= $\frac{4}{x}$ 是图象上一点，AB⊥y轴于点B，则△AOB的面积是（　　）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 已知反比例函数的图象经过点P（1，﹣2），则这个函数的图象位于（　　）

A、第一、三象限 B、第二、三象限 C、第二、四象限 D、第三、四象限

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7. 如图，点A、B在反比例函数y= $\frac{1}{x}$ (x>0)的图象上，点C、D在反比例函数y= $\frac{k}{x}$ (x>0)的图象上，AC∥BD∥y轴，已知点A、B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为 $\frac{3}{2}$ ，则k的值为（）

A、4 B、3 C、2 D、 $\frac{3}{2}$

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8.
如图，一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：
①△CEF与△DEF的面积相等；
②△AOB∽△FOE；
③△DCE≌△CDF；
④AC=BD．
其中正确的结论是（）

A、①② B、①②③ C、①②③④ D、②③④

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二、填空题

9. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强 $p (P a)$ 是气球体积 $V (m^{3})$ 的反比例函数，且当 $V = 3 m^{3}$ 时， $p = 8000 P a$ ．当气球内的气体压强大于 $40000 P a$ 时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于 $m^{3}$ ．

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10. 某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度 $v$ （单位：m/s）与所受阻力 $F$ （单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为 $30 m / s$ ，则所受阻力 $F$ 为．

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11. 我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数 $y = 2 x$ 的图象向上平移1个单位得到 $y = 2 x + 1$ 的图象；将二次函数 $y = x^{2} + 1$ 的图象向左平移2个单位得到 $y = {(x + 2)}^{2} + 1$ 的图象．若将反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是．

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12. 如图，已知双曲线 $y = \frac{k}{x}$ （x＞0）经过矩形OABC的边AB、BC上的点F、E，其中CE= $\frac{1}{3}$ CB，AF= $\frac{1}{3}$ AB，且四边形OEBF的面积为2，则k的值为．

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13.
如图，OABC是平行四边形，对角线OB在轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y= $\frac{k_{1}}{x}$ 和y= $\frac{k_{2}}{x}$ 的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论：
① $\frac{A M}{C N}$ = $\frac{| k_{1} |}{| k_{2} |}$ ；
②阴影部分面积是 $\frac{1}{2}$ （k₁+k₂）；
③当∠AOC=90°时，|k₁|=|k₂|；
④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．
其中正确的结论是（把所有正确的结论的序号都填上）．

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三、解答题

14. 如图，直线 $y = 2 x$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x} (x > 0 ， k > 0)$ 相交于点 $A$ ， $A B ⊥ x$ 轴于点 $B$ ，以 $A B$ 为边在右侧作正方形 $A B C D$ ， $C D$ 与双曲线相交于点 $E$ ，连结 $A E$ 、 $O E$ ．

(1)、当 $B C = 4$ 时，求点 $E$ 的坐标；

(2)、当 $S_{△ A O E} = 24$ 时，求 $k$ 的值；

(3)、是否存在实数 $k$ ，满足 $A E ⊥ O A$ ，若存在，求出 $k$ 的值；若不存在，请说明理由．

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15. 综合题

(1)、
探究：如图1 ，直线l与坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ $(k > 0 ， x > 0)$ 的图象交于C，D两点(点C在点D的左边)，过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，CE与DF交于点G(a ， b).
①若 $\frac{E C}{C G} = \frac{1}{n}$ ，请用含n的代数式表示 $\frac{A C}{C D}$ ；
②求证： $A C = B D$ ；

(2)、
应用：如图2，直线l与坐标轴的正半轴分别交于点A，B两点，与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ $(k > 0 ， x > 0)$ 的图象交于点C，D两点(点C在点D的左边)，已知 $\frac{B D}{C D} = \frac{1}{m}$ ，△OBD的面积为1，试用含m的代数式表示k.

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四、综合题

16. 某小组进行漂洗实验，每次漂洗的衣服量和添加洗衣粉量固定不变实验发现，当每次漂洗用水量v（升）一定时，衣服中残留的洗衣粉量y（克）与漂洗次数x（次）满足y= $\frac{k v + 2.5}{x}$ （k为常数），已知当使用5升水，漂洗1次后，衣服中残留洗衣粉2克．

(1)、求k的值．

(2)、如果每次用水5升，要求漂洗后残留的洗衣粉量小于0.8克，求至少漂洗多少次？

(3)、现将20升水等分成x次（x>1）漂洗，要使残留的洗衣粉量降到0.5克，求每次漂洗用水多少升？

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17. 某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件．

(1)、写出该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式；

(2)、求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数；

(3)、广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？

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