2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学八年级下册 16.3 二次根式的加减同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-01-26 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2$ B、 $\sqrt{20} \div \sqrt{5} = 4$ C、 $\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{12} = 3 \sqrt{2}$

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2. 已知 $x = 2 - \sqrt{3}$ ，则代数式 $(7 + 4 \sqrt{3}) x^{2} + (2 + \sqrt{3}) x + \sqrt{3}$ 的值是（）

A、0 B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 + \sqrt{3}$ D、 $2 - \sqrt{3}$

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3. 下列二次根式中，与 $\sqrt{8}$ 是同类二次根式的是（）

A、 $\sqrt{12}$ B、 $\sqrt{0.2}$ C、 $\sqrt{98}$ D、 $\sqrt{\frac{3}{4}}$

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4. 如图所示，A（2 $\sqrt{2}$ ， 0），AB＝3 $\sqrt{2}$ ，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C ，则点C的坐标为（　　）

A、（3 $\sqrt{2}$ ， 0） B、（ $\sqrt{2}$ ， 0） C、（- $\sqrt{2}$ ， 0） D、（-3 $\sqrt{2}$ ， 0）

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5. 若二次根式 $\sqrt{4 a - 2}$ 与 $\sqrt{2}$ 可以合并，则 $a$ 的值可以是（）

A、6 B、5 C、4 D、2

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6. 下列二次根式中，属于同类二次根式的是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ 与 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ 与 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\sqrt{18}$ 与 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ D、 $\sqrt{4 a}$ 与 $\sqrt{8 a}$

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7. 与 $\sqrt{18}$ -3最接近的整数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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8. 若等腰三角形的两边长分别为 $\sqrt{50}$ 和 $\sqrt{72}$ ，则这个三角形的周长为（　　）

A、 $11 \sqrt{2}$ B、 $16 \sqrt{2}$ 或 $17 \sqrt{2}$ C、 $17 \sqrt{2}$ D、 $16 \sqrt{2}$

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二、填空题

9. 化简 $\sqrt{1 - 2 x + x^{2}} - (\sqrt{x - 2})^{2}$ 的结果是．

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10. 不等式 $\sqrt{3} x - 1 < \sqrt{2} x$ 的解集是.

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11. 若最简二次根式 ${}_{2 a - 4}{\sqrt{3 a + b}}$ 与 $\sqrt{a - b}$ 是同类根式，则2a-b＝．

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12. 设m、x、y均为正整数，且 $\sqrt{m - \sqrt{28}} = \sqrt{x} - \sqrt{y}$ ，则（x+y+m）²=.

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13. 已知a、b是正整数，如果有序数对(a, b)能使得2 $(\sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}})$ 的值也是整数，那么称（a,b）是2 $(\sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}})$ 的一个“理想数对”。如（1，1）使得2 $(\sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}})$ =4，（4，4）使得2 $(\sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}})$ 所以（1,1）和（4，4）都是2 $(\sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}})$ 的“理想数对”，请你再写出一个2 $(\sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}})$ 的“理想数对”： .

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三、解答题

14. 如图，面积为 $32 c m^{2}$ 的正方形四个角是面积为 $2 c m^{2}$ 的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子.

(1)、则原来大正方形的边长为cm；（保留根号）
四个角的小正方形的边长为cm.（保留根号）

(2)、求这个长方体盒子的底面边长和体积分别是多少?并将结果精确到 0.01.
提示： $\sqrt{2} \approx 1.414 ， \sqrt{3} \approx 1.732 ， \sqrt{5} \approx 2.236$

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15. 若实数x，y满足 $(x - \sqrt{x^{2} - 2016}) (y - \sqrt{y^{2} - 2016}) = 2016$ ．

(1)、求x，y之间的数量关系；

(2)、求 $3 x^{2} - 2 y^{2} + 5 x - 5 y - 2019$ 的值．

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四、综合题

16. 观察、发现： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ = $\frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)}$ = $\frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2})^{2} - 1}$ = $\frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1}$ = $\sqrt{2}$ -1

(1)、试化简： $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ ；

(2)、直接写出： $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$ =　　；

(3)、求值： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ + $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ + $\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}}$ +…+ $\frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}}$ ．

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17. 阅读下面的材料，解决问题：
像 $(\sqrt{5} + 2) (\sqrt{5} - 2) = 1$ 、 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a (a \geq 0)$ 、 $(\sqrt{b} + 1) (\sqrt{b} - 1) = b - 1 (b \geq 0)$ 、……，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如， $\sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 、 $\sqrt{2} + 1$ 与 $\sqrt{2} - 1$ 、 $2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5}$ 与 $2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{5}$ 等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．我们把通过适当的变形化去分母中根号的运算叫做分母有理化．

例如： $\frac{1}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ ； $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{{(\sqrt{2} + 1)}^{2}}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)} = \frac{2 + 2 \sqrt{2} + 1}{2 - 1} = 3 + 2 \sqrt{2}$ ；

(1)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2}} =$ ； $\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} =$ ；

(2)、计算： $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \dots \dots + \frac{1}{\sqrt{2021} + \sqrt{2022}} + \frac{1}{\sqrt{2022} + \sqrt{2023}}$ ；

(3)、比较 $\sqrt{15} - \sqrt{14}$ 和 $\sqrt{14} - \sqrt{13}$ 的大小，并说明理由．

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