2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学八年级下册 16.2 二次根式的乘除同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-01-26 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列整数中与 $\sqrt{3} \times \sqrt{6}$ 的结果最接近的是（）

A、3 B、4 C、9 D、18

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2. 若 $\sqrt{2} \times (2 \sqrt{5} - \frac{\sqrt{2}}{2})$ 在两个相邻整数之间，则这两个整数是（）

A、 $4$ 和 $5$ B、 $5$ 和 $6$ C、 $6$ 和 $7$ D、 $7$ 和 $8$

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3. 下列各式化成最简二次根式正确的是（）

A、 $\sqrt{\frac{7}{10}} = \sqrt{0.7}$ B、 $\sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5}$ C、 $\sqrt{0.1} = \frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\sqrt{\frac{2}{3}} = 3 \sqrt{6}$

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4. 下列计算中，正确的是（）

A、 $(- 2 a b^{2})^{3} = - 8 a^{3} b^{6}$ B、 $(a + b) (b - a) = a^{2} - b^{2}$ C、 $a^{3} \cdot a^{5} = a^{15}$ D、 $\sqrt{6} \times \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$

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5. 按如图所示运算程序，输入 $x = - \sqrt{2}$ ， $y = - 2 \sqrt{2}$ ，则输出结果为（）

A、 $- 6$ B、6 C、 $- \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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6. 甲、乙两位同学对代数式 $\frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} (a > 0 ， b > 0)$ ，分别作了如下变形：甲： $\frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{(a - b) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$ ，乙： $\frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$ ．关于这两种变形过程的说法正确的是（）

A、甲、乙都正确 B、甲、乙都不正确 C、只有甲正确 D、只有乙正确

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7. 已知a= $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ ，b= $\frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，则a与b的关系是（）

A、相等 B、互为相反数 C、互为倒数 D、平方值相等

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8. 已知 $max {\sqrt{x}$ ， $x^{2}$ ， $x}$ 表示取三个数中最大的那个数﹒例如：当 $x = 9$ ， $max {\sqrt{x}$ ， $x^{2}$ ， $x}$ = $max {\sqrt{9}$ ， $9^{2}$ ， $9}$ =81﹒当 $max {\sqrt{x}$ ， $x^{2}$ ， $x}$ = $\frac{1}{16}$ 时，则 $x$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{512}$ B、 $\frac{1}{256}$ C、 $\frac{1}{64}$ D、 $\frac{1}{16}$

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二、填空题

9. 不等式 $x - 3 \sqrt{2} > \sqrt{2} x$ 的解集是．

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10. 当 $x = - 6$ 时，二次根式 $\sqrt{4 - 2 x}$ 的值为．

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11. 计算（ $\sqrt{2}$ +1）^{2 021}（ $\sqrt{2}$ -1）^{2 022}=.

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12. 我们在二次根式的化简过程中得知： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} - 1, \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2},$ $\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} = \sqrt{4} - \sqrt{3}$ ，…，则 $(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{2020} + \sqrt{2019}})$ $(\sqrt{2020} + 1) =$

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13. 阅读理解：对于任意正整数a，b，∵ ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0$ ， ∴ $a - 2 \sqrt{a b} + b \geq 0$ ， ∴ $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，只有当 $a = b$ 时，等号成立；结论：在 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ （a、b均为正实数）中，只有当 $a = b$ 时， $a + b$ 有最小值 $2 \sqrt{a b}$ .若 $m > 1$ ， $\sqrt{m} + \frac{1}{\sqrt{m} - 1}$ 有最小值为．

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三、解答题

14. 已知 $\frac{1}{1 \sqrt{2} + 2 \sqrt{1}}$ + $\frac{1}{2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2}}$ + $\frac{1}{3 \sqrt{4} + 4 \sqrt{3}}$ +…+ $\frac{1}{n \sqrt{n + 1} + (n + 1) \sqrt{n}}$ ＝ $\frac{49}{50}$ ，求n的值.

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15. 先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如 $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}}$ 的化简，只要我们找到两个数a、b使 $a + b = m$ ， $a b = n$ ，这样 $(\sqrt{a})^{2} + (\sqrt{b})^{2} = m$ ， $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{n}$ ，那么便有 $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}} = \sqrt{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^{2}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b} (a > b)$ 例如：化简 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$
解：首先把 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ 化为 $\sqrt{7 + 2 \sqrt{12}}$ ，这里 $m = 7$ ， $n = 12$ ；
由于 $4 + 3 = 7$ ， $4 \times 3 = 12$ ，即 $(\sqrt{4})^{2} + (\sqrt{3})^{2} = 7$ ， $\sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{12}$ ，
$∴ \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} = \sqrt{7 + 2 \sqrt{12}} = \sqrt{(\sqrt{4} + \sqrt{3})^{2}} = 2 + \sqrt{3}$
由上述例题的方法化简：

(1)、 $\sqrt{13 - 2 \sqrt{42}}$ ；

(2)、 $\sqrt{7 - \sqrt{40}}$ ；

(3)、 $\sqrt{2 - \sqrt{3}}$ .

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四、综合题

16. 已知二次根式 $\sqrt{x + 2}$ ．

(1)、求使得该二次根式有意义的 $x$ 的取值范围；

(2)、已知 $\sqrt{x + 2}$ 是最简二次根式，且与 $\sqrt{\frac{5}{2}}$ 可以合并．
①求 $x$ 的值；
②求 $\sqrt{x + 2}$ 与 $\sqrt{\frac{5}{2}}$ 的乘积．

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17. 阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．
例如：3＋2 $\sqrt{2}$ ＝（1＋ $\sqrt{2}$ ）² ，善于思考的小敏进行了以下探索：

当a、b、m、n均为整数时，若a＋b $\sqrt{2}$ ＝（m＋n $\sqrt{2}$ ）² ，则有a＋b $\sqrt{2}$ ＝m²＋2n²＋2mn $\sqrt{2}$ ．

a＝m²＋2n² ， b＝2mn．这样小敏就找到了一种把类似a＋b $\sqrt{2}$ 的式子化为平方式的方法．

请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题：

(1)、当a、b、m、n均为整数时，若 $a + b \sqrt{5} = (m + n \sqrt{5})^{2}$ ，用含mn的式子分别表示a、b，则：a＝　　， b＝　　；

(2)、若a＋6 $\sqrt{7}$ ＝（m＋n $\sqrt{7}$ ）² ，且a、m、n均为正整数，求a的值；

(3)、直接写出式子 $\sqrt{49 + 20 \sqrt{6}}$ 化简的结果．

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