2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学八年级下册 16.2 二次根式的乘除同步分层训练提升题

试卷更新日期：2024-01-26 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列二次根式是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{1.5}$ B、 $\sqrt{45}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ D、 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$

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2. 化简 $\sqrt{4}$ 的正确结果是（）

A、±2 B、2 C、-2 D、2 $\sqrt{2}$

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3. 如果 $\sqrt{{(2 a - 1)}^{2}} = 1 - 2 a$ ，则（）

A、 $a < \frac{1}{2}$ B、 $a \leq \frac{1}{2}$ C、 $a > \frac{1}{2}$ D、 $a \geq \frac{1}{2}$

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4. 已知，在平面直角坐标系中点A、B的坐标分别为A（1，4），B（5，0）．点M、N分别为x轴、y轴上的两个动点．动点P从点A出发以1秒1个单位的速度沿A→N→M到点M，再以1秒 $\sqrt{2}$ 个单位的速度从点M运动到点B后停止．则点P运动花费的时间最短为（　　）秒．

A、5 $\sqrt{2}$ B、4 $\sqrt{2}$ C、5 D、4

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5. 小明的作业本上有以下四题：① $\sqrt{16 a^{4}}$ =4a²；② $\sqrt{5 a}$ · $\sqrt{10 a}$ =5 $\sqrt{2}$ a；③a $\sqrt{\frac{1}{a}}$ = $\sqrt{a^{2} · \frac{1}{a}}$ = $\sqrt{a}$ ；④ $\sqrt{8 a}$ ÷ $\sqrt{2 a}$ =4.做错的题是（　　）

A、① B、② C、③ D、④

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6. 已知a= $\sqrt{2}$ -1，b= $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ ，则a与b的关系（　　）

A、a=b B、ab=1 C、a=-b D、ab=-1

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7. 若一正方体的表面积为 $18 d m^{2}$ ，则此正方体的棱长为（）

A、 $\sqrt{3} d m$ B、 $3 d m$ C、 $\sqrt{18} d m$ D、 $\sqrt[3]{18} d m$

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8. 下列说法正确的是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 是分数 B、16的平方根是±4，即 $\sqrt{16} = \pm 4$ C、8.30万精确到百分位 D、若 $\sqrt{a - 2022} + | b + 1 | = 0$ ，则 $b^{a} = 1$

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二、填空题

9. $\sqrt{a - b}$ 的有理化因式为.

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10. 若一个直角三角形的一条直角边长为 $\sqrt{10}$ ，另一条直角边长是这条直角边长的2倍，则这个直角三角形的面积为.

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11. 如果 $a = \sqrt{5} - 2$ ，则 $\frac{1}{a} + \sqrt{\frac{1}{a^{2}} + a^{2} - 2} =$ ．

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12. 已知 $x = \sqrt{3} + 1$ ， $y = \sqrt{3} - 1$ ，则代数式 $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ 的值是．

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三、解答题

13. 有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm²和32dm²的正方形木板．

(1)、截出的两块正方形木料的边长分别为．

(2)、求剩余木料的面积．

(3)、如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出多少块这样的木条．

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14.

(1)、已知方程① $\sqrt{x + 2023}$ + $\sqrt{x - 2023}$ = $\sqrt{2024}$ ， ② $\sqrt{x - 2022}$ + $\sqrt{x - 2023}$ + $\sqrt{x - 2024}$ =3请判断这两个方程是否有解?并说明理由；

(2)、已知 $\sqrt{3 x + 2023}$ + $\sqrt{3 x - 2023}$ =2023，求 $\sqrt{3 x + 2023} - \sqrt{3 x - 2023}$ 的值。

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四、综合题

15. 请阅读下列材料：
问题：已知 $x = \sqrt{5} + 2$ ，求代数式 $x^{2} - 4 x - 7$ 的值.小敏的做法是：根据 $x = \sqrt{5} + 2$ 得 $(x - 2)^{2} = 5$ ， $∴ x^{2} - 4 x + 4 = 5$ ，得： $x^{2} - 4 x = 1$ .把 $x^{2} - 4 x$ 作为整体代入：得 $x^{2} - 4 x - 7 = 1 - 7 = - 6$ .即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题.请你用上述方法解决下面问题：

(1)、已知 $x = \sqrt{5} - 2$ ，求代数式 $x^{2} + 4 x - 10$ 的值；

(2)、已知 $x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，求代数式 $x^{3} + x^{2} + 1$ 的值.

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16. 阅读材料：像 $(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1) = 2$ ， $\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a (a \geq 0)$ …这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．
例如： $\frac{1}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ ； $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1)} = 2 + \sqrt{3}$ ．
解答下列问题：

(1)、 $\sqrt{6}$ 的有理化因式是， $\sqrt{3} + 2$ 的有理化因式是．

(2)、观察下面的变形规律，请你猜想： $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} =$ ．
$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} - 1$ ， $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ， $\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} = \sqrt{4} - \sqrt{3}$ …

(3)、利用上面的方法，请化简：
$\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + ⋯ ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2022} + \sqrt{2023}}$ ．

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