2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学八年级下册 16.1 二次根式同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-01-26 类型：同步测试

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一、选择题

1. 要使二次根式 $\sqrt{x + 1}$ 有意义，字母x必须满足的条件是（）

A、x≥1 B、x>－1 C、x≥－1 D、x>1

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2. 如果代数式 $\sqrt{a}$ + $\frac{1}{\sqrt{a b}}$ 有意义，那么直角坐标系中点A（a，b）的位置在（　）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知a= $\sqrt{2}$ ， b= $\sqrt{10}$ ，用含a、b的代数式表示 $\sqrt{20}$ ，这个代数式是（）

A、a+b B、ab C、2a D、2b

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4. $\sqrt{12 - n}$ 是一个正整数，则n的最小正整数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 已知 $- 1 < a < 0$ ，化简 $\sqrt{{(a + \frac{1}{a})}^{2} - 4} + \sqrt{{(a - \frac{1}{a})}^{2} + 4}$ 得（）

A、 $- 2 a$ B、 $- \frac{2}{a}$ C、 $2 a$ D、 $\frac{2}{a}$

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6. 下列二次根式在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是 $x ≥ 1$ 的选项是（）

A、 $\frac{x - 2}{\sqrt{x - 1}}$ B、 $\sqrt{\frac{x - 1}{2}}$ C、 $\frac{\sqrt{x - 1}}{x - 2}$ D、 $\sqrt{\frac{2}{x - 1}}$

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7. $\sqrt{{(1 \frac{2}{3})}^{2}} + \sqrt{{(- 1 \frac{2}{3})}^{2}}$ 的值是（）

A、0 B、 $\frac{4}{3}$ C、 $3 \frac{1}{3}$ D、以上都不对

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8. 若二次根式 $\sqrt{2 - m}$ 有意义，且关于x的分式方程 $\frac{m}{1 - x}$ +2＝ $\frac{3}{x - 1}$ 有正数解，则符合条件的整数m的和是（）

A、﹣7 B、﹣6 C、﹣5 D、﹣4

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二、填空题

9. 已知实数x、y满足 $\sqrt{x - 1}$ +|y+3|=0，则x+y的值为．

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10. 已知a，b，c为三角形三边，则 $\sqrt{{(a + b - c)}^{2}} + \sqrt{{(b - c - a)}^{2}} + \sqrt{{(b + c - a)}^{2}}$ = ．

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11. 观察下列式子： $\sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}}$ ； $\sqrt{2 - \frac{2}{5}} = 2 \sqrt{\frac{2}{5}}$ ； $\sqrt{3 - \frac{3}{10}} = 3 \sqrt{\frac{3}{10}}$ ； $\sqrt{4 - \frac{4}{17}} = 4 \sqrt{\frac{4}{17}}$ ；…；请用字母表示其中的规律．

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12. 等式 $| x - y | = \sqrt{{(x + y)}^{2} + ()}$ 中的括号应填入

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13. 已知， $y = \sqrt{{(x - 3)}^{2}} + 4 - x$ ，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y值的总和是.

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三、解答题

14. 已知 $\sqrt{x - y + 3}$ + $\sqrt{x - 3}$ =0，求 $x y$ 的值.

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15. 阅读下面材料，回答问题：

(1)、在化简 $\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}}$ 的过程中，小张和小李的化简结果不同；
小张的化简如下： $\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}}$ = $\sqrt{2 - 2 \sqrt{2 \times 3} + 3}$ = $\sqrt{{(\sqrt{2} - \sqrt{3})}^{2}}$ = $\sqrt{2} - \sqrt{3}$

小李的化简如下： $\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}}$ = $\sqrt{2 - 2 \sqrt{3 \times 2} + 3}$ = $\sqrt{{(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2}}$ = $\sqrt{3} - \sqrt{2}$

请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由．

(2)、请你利用上面所学的方法化简：① $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ ；② $\sqrt{6 - 2 \sqrt{5}}$ ．

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四、综合题

16. 著名数学教育家G·波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题：
数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．例如： $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} = \sqrt{1 + 2 \times 1 \times \sqrt{2} + 2} = \sqrt{1^{2} + 2 \times 1 \times \sqrt{2} + {(\sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{{(1 + \sqrt{2})}^{2}} = 1 + \sqrt{2}$ ．

解决问题：

(1)、在括号内填上适当的数： $\sqrt{14 + 6 \sqrt{5}} = \sqrt{9 + 2 \times 3 \times \sqrt{5} + ①} = \sqrt{{(3 + ②)}^{2}} = ③$
①：， ②：， ③ ．

(2)、根据上述思路，求出 $\sqrt{28 - 10 \sqrt{3}} + \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ 的值．

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17. 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简： $(\sqrt{1 - 3 x})^{2} - | 1 - x |$
解：隐含条件 $1 - 3 x \geq 0$ ，解得： $x \leq \frac{1}{3}$
∴ $1 - x > 0$
∴原式 $= (1 - 3 x) - (1 - x) = 1 - 3 x - 1 + x = - 2 x$

(1)、【启发应用】
按照上面的解法，试化简 $\sqrt{(3 - x)^{2}} - (\sqrt{2 - x})^{2}$ ；

(2)、【类比迁移】
实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： $\sqrt{a^{2}} + \sqrt{(a + b)^{2}} - | b - a |$ ；

(3)、已知a，b，c为 $△ A B C$ 的三边长．化简： $\sqrt{(a + b + c)^{2}} + \sqrt{(a - b - c)^{2}} + \sqrt{(b - a - c)^{2}} + \sqrt{(c - b - a)^{2}}$ ．

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