2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学八年级下册 16.1 二次根式同步分层训练提升题

试卷更新日期：2024-01-26 类型：同步测试

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一、选择题

1. 当x=0时，二次根式 $\sqrt{4 + 2 x}$ 的值等于（）

A、4 B、2 C、2 D、0

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2. 若代数式 $\sqrt{x - 1}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是 $($ $)$

A、x<1 B、x≤1 C、x>1 D、x≥1

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3. 如果二次根式 $\sqrt{a - 1}$ 有意义，那么实数a的取值范围是（）

A、 $a > 1$ B、 $a \geq 1$ C、 $a < 1$ D、 $a \leq 1$

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4. 已知 $\sqrt{\frac{1 - a}{a^{2}}} = \frac{\sqrt{1 - a}}{4}$ ，则 $a$ 的值是（）

A、 $a = 1$ B、 $a = - 1$ C、 $a = 4$ D、 $a = - 4$

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5. 若0＜ $x$ ＜1，那么 $x + 1 + \sqrt{{(x - 1)}^{2}}$ 的化简结果是（）

A、 $2 x$ B、 $2$ C、 $0$ D、 $2 x + 2$

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6. 式子 $\sqrt{\frac{3 - x}{x - 1}} = \frac{\sqrt{3 - x}}{\sqrt{x - 1}}$ 成立的条件是（）

A、 $x$ ≥3 B、 $x$ ≤1 C、1≤ $x$ ≤3 D、1＜ $x$ ≤3

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7. 如图x在数轴上的位置，则 $\sqrt{(x + 2)^{2}}$ +|x-3|的值为（）

A、2-1 B、2+1 C、1 D、5

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8. 已知实数a满足条件 $| 2011 - a | + \sqrt{a - 2012} = a$ ，那么 $a - 2011^{2}$ 的值为 $($ 　　 $)$

A、2010 B、2011 C、2012 D、2013

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二、填空题

9. 请写出一个正整数m的值使得 $\sqrt{8 m}$ 是整数； $m =$ ．

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10. 若|a－b＋1|与 $\sqrt{a + 2 b + 4}$ 互为相反数，则a＝， b＝．

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11. 计算： $（ \sqrt{\frac{1}{7}} ）^{2019} \times （ - \sqrt{7} ）^{2020}$ ＝．

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12. 已知，x、y是有理数，且y＝ $\sqrt{x - 2}$ + $\sqrt{2 - x}$ ﹣4，则2x+3y的立方根为．

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13. 已知 $a^{2} = 81$ ， $\sqrt[3]{b} = - 2$ ，则 $\sqrt{b - a} =$ ．

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三、解答题

14. 若x，y都是实数，且y= $\sqrt{x - 3}$ + $\sqrt{3 - x}$ -8，求5x+13y+25的立方根．

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15. 如图，将面积分别为2和3的两个正方形放在数轴上，使正方形一个顶点和原点 $O$ 重合，一条边恰好落在数轴上，其另一个顶点分别为数轴上的点 $A$ 和点 $B$ ，

(1)、点 $A$ 表示的数为；点B表示的数为，线段 $A B$ 的长度为；

(2)、一只蚂蚁从点 $A$ 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点 $C$ ，设点 $C$ 表示的数为 $c$ ，
①实数 $c$ 的值为 ▲ ；
②求 $| c + 1 | + | c - 1 |$ 的值；

(3)、在数轴上，还有 $D$ 、 $E$ 两点分别表示 $m$ ， $n$ 且有 $| 2 m + n |$ 与 $\sqrt{n^{2} - 16}$ 互为相反数，求 $2 m - 3 n$ 的平方根。

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四、综合题

16. 阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当 $a > 0$ ， $b > 0$ 时，
∵ $(\sqrt{a -} \sqrt{b})^{2} = a - 2 \sqrt{a b} + b \geq 0$ ， ∴ $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，当且仅当 $a = b$ 时取等号．请利用上述结论解决以下问题：

(1)、当 $x > 0$ 时，求 $x + \frac{1}{x}$ 的最小值．

(2)、当 $x < 0$ 时，求 $x + \frac{1}{x}$ 的最大值．

(3)、当 $x > 0$ 时，求 $y = \frac{x^{2} + 3 x + 16}{x}$ 的最小值．

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17. 阅读理解：阅读下列材料，然后解答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如： $\frac{3}{\sqrt{5}}$ ， $\sqrt{\frac{2}{3}}$ ， $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ ， ……这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简，让式子的分母中不含根式：
例如： $\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ ；（一）

      $\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2 \times 3}}{\sqrt{3 \times 3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ；（二）

      $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3})^{2} - 1} = \sqrt{3} - 1$ ；（三）

以上这种化简的叫做分母有理化．

      $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 还可以用以下方法化简：

      $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3 - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3})^{2} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3} - 1$ ．（四）

请解答下列问题：

(1)、化简： $\frac{3}{\sqrt{6} + \sqrt{3}}$ ．

(2)、化简： $\frac{3}{\sqrt{4} + \sqrt{1}} + \frac{3}{\sqrt{7} + \sqrt{4}} + \frac{3}{\sqrt{10} + \sqrt{7}}$ ．

(3)、猜想： $\frac{3}{\sqrt{4} + \sqrt{1}} + \frac{3}{\sqrt{7} + \sqrt{4}} + \frac{3}{\sqrt{10} + \sqrt{7}} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + \frac{3}{\sqrt{3 n + 1} + \sqrt{3 n - 2}}$ 的值．（可直接写出结果）

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