高中数学三轮复习（直击痛点）：专题2基本不等式的综合问题

试卷更新日期：2024-01-26 类型：三轮冲刺

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一、选择题

1. 已知椭圆方程 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1 ， F$ 是其左焦点，点 $A (1 ， 1)$ 是椭圆内一点，点 $P$ 是椭圆上任意一点，若 $| P A | + | P F |$ 的最大值为 $D_{m a x}$ ，最小值为 $D_{m i n}$ ，那么 $D_{m a x} + D_{m i n} =$ （）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、4 C、8 D、 $8 \sqrt{3}$

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2. 过 $△ A B C$ 的重心 $G$ 的直线 $l$ 分别交线段 $A B$ 、 $A C$ 于点 $E$ 、 $F$ ，若 $\vec{A E} = λ \vec{A B} ， \vec{A F} = μ \vec{A C}$ ，则 $2 λ + μ$ 的最小值为（）

A、 $1 + \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{2 + 2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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3. 《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为（　　）

A、a²+b²≥2ab（a＞0，b＞0） B、 $\frac{a + b}{2} > \sqrt{a b} (a > 0 ， b > 0)$ C、 $\frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$ （a＞0，b＞0） D、 $\frac{2 a b}{a + b} \leq \sqrt{a b}$ （a＞0，b＞0）

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4. 正数 $a, b$ 满足 $a b = a + b + 3$ ，则 $a b$ 的取值范围是（）

A、 $[9, + \infty)$ B、 $(9, + \infty)$ C、 $[3, + \infty)$ D、 $(3, + \infty)$

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5. 已知实数 $a_{i}$ ， $b_{i} \in R$ ，（i＝1，2…，n），且满足 $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ⋯ + a_{n}^{2} = 1$ ， $b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + ⋯ + b_{n}^{2} = 1$ ，则 $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + ⋯ + a_{n} b_{n}$ 最大值为（）

A、1 B、2 C、 $n \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{n}$

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二、多项选择题

6. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $3 a + 2 b = 1$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a b \leq \frac{1}{24}$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 5 + 2 \sqrt{6}$ . C、 $a + b$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \frac{\sqrt{30}}{6}$

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三、填空题

7. 设点 $P (x_{1} ， y_{1})$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上的动点，点 $Q (x_{2} ， y_{2})$ 是直线 $x + 2 y - 8 = 0$ 上的动点，则 $| x_{2} - x_{1} | + | y_{2} - y_{1} |$ 的最小值是．

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8. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ A C$ ，点 $A$ 在平面 $P B C$ 中的射影是 $△ P B C$ 的垂心，若 $△ P A B$ ， $△ P A C$ ， $△ A B C$ 的面积之和为4，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球表面积的最小值为．

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9. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$ ，若对任意的正数 $a ， b$ ，满足 $f (a) + f (3 b - 1)$ $= 0$ ，则 $\frac{3}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为.

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10. 从椭圆 $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的动点 $M$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{b^{2}}{4}$ 的两条切线，切点为 $P$ 和 $Q$ ，直线 $P Q$ 与 $x$ 轴和 $y$ 轴的交点分别为 $E$ 和 $F$ ，则 $△ E O F$ 面积的最小值是．

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11. 若实数a，b，c满足a²+b²+c²=1，则3ab﹣3bc+2c²的最大值为

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四、解答题

12. 已知函数 $f (x) = | x + 1 | + 2 | x - 1 |$ .

(1)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 4$ 的解集；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq | x - a |$ 的解集包含集合 $[- 1 ， 1]$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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13. 设 $f (x) = \frac{x}{l n x}$

(1)、求证： $f (x) < \frac{x^{2}}{x - 1}$ ；

(2)、若 $f (x) < n l n (1 - x^{2})$ 恒成立，求整数 $n$ 的最大值．（参考数据 $l n 2 \approx 0.693$ ， $l n 3 \approx 1.099$ ）

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14. 已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣m|．

(1)、当m＝2时，求不等式f（x）≤5的解集；

(2)、若f（x）＞﹣m，求实数m的取值范围．

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15. △ABC的三个内角为A，B，C及其三边a，b，c，且A，B，C成等差数列，

(1)、若a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形；

(2)、用分析法证明： $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} = \frac{3}{a + b + c}$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = l n x - \frac{k (x - 1)}{x + 1}$ .

(1)、若 $k = 2$ ，判断函数 $f (x)$ 的单调性，并说明理由；

(2)、若 $x > 1$ 时， $f (x) > 0$ 恒成立.
（i）求实数 $k$ 的取值范围；
（ⅱ）证明： $\forall n \in N^{*}$ ， $\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2 n} < l n 2$ .

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17. 已知 $x ， y ， z \in R$ ，且 $x + 2 y + z ＝ 6$ ．

(1)、求 $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ 的最小值；

(2)、若 $x^{2} + y^{2} + {(z - a)}^{2} \geq 1$ 成立，求 $a$ 的取值范围．

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18. 设a₁ ， a₂ ， a₃为正数，求证： $\frac{a_{1} a_{2}}{a_{3}} + \frac{a_{2} a_{3}}{a_{1}} + \frac{a_{3} a_{1}}{a_{2}} \geq a_{1} + a_{2} + a_{3}$ .

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19. 某工厂新研发了一种产品，该产品每件成本为5元，将该产品按事先拟定的价格进行销售，得到如下数据：

单价 $x$ （元）

8

8.2

8.4

8.6

8.8

9

销量 $y$ （件）

90

84

83

80

75

68

参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .参考数据： $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i} = 4066$ ， $\sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2} = 434.2$

(1)、求销量 $y$ （件）关于单价 $x$ （元）的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(2)、若单价定为10元，估计销量为多少件；

(3)、根据销量 $y$ 关于单价 $x$ 的线性回归方程，要使利润 $P$ 最大，应将价格定为多少？

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20. 已知正实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足 $x + 2 y + 4 z = 3$ ，

(1)、证明： $\frac{1}{x} + \frac{1}{2 y} + \frac{1}{4 z} ≥ 3$ ；

(2)、求 $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ 的最小值．

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21. 已知f(n)＝1＋ $\frac{1}{2^{3}}$ ＋ $\frac{1}{3^{3}}$ ＋ $\frac{1}{4^{3}}$ ＋ $⋯$ ＋ $\frac{1}{n^{3}}$ ， $g (n) =$ $\frac{3}{2}$ － $\frac{1}{2 n^{2}}$ ， n∈N^*.

(1)、当n＝1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；

(2)、猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．

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22. 设 ${(q + x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{r} x^{r} + \dots + a_{n} x^{n}$ ，其中 $q \in R ， n \in N^{*}$ .

(1)、证明： $\frac{C_{n}^{r}}{r + 1} = \frac{C_{n + 1}^{r + 1}}{n + 1}$ ，其中 $r = 0 ， 1 ， 2 ， \dots n$ ；

(2)、当 $q = 1$ 时，化简： $\sum_{r = 0}^{n} \frac{a_{r}}{r + 1}$ ；

(3)、当 $q = n$ 时，记 $A_{n} = \frac{n (a_{0} + a_{1})}{2}$ ， $B_{n} = \sum_{r = 0}^{n} a_{r}$ ，试比较 $A_{n}$ 与 $B_{n}$ 的大小.

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23. 已知函数 $f (x)$ ，甲变化： $f (x) - f (x - t)$ ；乙变化： $| f (x + t) - f (x) |$ ， $t > 0$ .

(1)、若 $t = 1$ ， $f (x) = 2^{x}$ ， $f (x)$ 经甲变化得到 $g (x)$ ，求方程 $g (x) = 2$ 的解；

(2)、若 $f (x) = x^{2}$ ， $f (x)$ 经乙变化得到 $h (x)$ ，求不等式 $h (x) \leq f (x)$ 的解集；

(3)、若 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上单调递增，将 $f (x)$ 先进行甲变化得到 $u (x)$ ，再将 $u (x)$ 进行乙变化得到 $h_{1} (x)$ ；将 $f (x)$ 先进行乙变化得到 $v (x)$ ，再将 $v (x)$ 进行甲变化得到 $h_{2} (x)$ ，若对任意 $t > 0$ ，总存在 $h_{1} (x) = h_{2} (x)$ 成立，求证： $f (x)$ 在R上单调递增.

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24. 设n是正整数，r为正有理数．

(1)、求函数f（x）=（1+x）^r+1﹣（r+1）x﹣1（x＞﹣1）的最小值；
（参考数据： $80^{\frac{4}{3}} \approx 344.7 ， 81^{\frac{4}{3}} \approx 350.5 ， 12 4^{\frac{4}{3}} \approx 618.3 ， 12 6^{\frac{4}{3}} \approx 631.7 ）$ ．

(2)、证明： $\frac{n^{r + 1} - {(n - 1)}^{r + 1}}{r + 1} < n^{r} < \frac{{(n + 1)}^{r + 1} - n^{r + 1}}{r + 1}$ ；

(3)、设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如 $[2] = 2, [π] = 4, [- \frac{3}{2}] = - 1$ ．令 $S = \sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{82} + \sqrt[3]{83} + ... \sqrt[3]{125}, 求 [S]$ 的值．

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25. 选修4-5：不等式选讲, 已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}．

(1)、求实数a，b的值；

(2)、求 $\sqrt{a t + 12}$ + $\sqrt{b t}$ 的最大值．

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26. 在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 3 ， a_{n + 1} a_{n} + λ a_{n + 1} + μ {a_{n}}^{2} = 0 (n \in N_{+})$

(1)、若 $λ = 0$ ， $μ = - 2$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通向公式；

(2)、若 $λ = \frac{1}{k_{0}} (k_{0} \in N_{+} ， k_{0} \geq 2)$ ， $μ = - 1$ ，证明： $2 + \frac{1}{3 k_{0} + 1} < a_{k_{0} + 1} < 2 + \frac{1}{2 k_{0} + 1}$ 。

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单价 $x$ （元）	8	8.2	8.4	8.6	8.8	9
销量 $y$ （件）	90	84	83	80	75	68