高中数学三轮复习（直击痛点）：专题1函数性质间的相互联系

试卷更新日期：2024-01-26 类型：三轮冲刺

进入出卷网下载

一、选择题

1. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当 $x < 0$ 时，f(x)= $\log_{2} (- x) + m$ ， f（ $\frac{1}{2}$ ）= $\sqrt{2}$ ，则实数 m=（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、 $- \sqrt{2} + 1$

查看试题解析
2. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数， $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上单调递减，且 $f (3) = 0$ ，则不等式 $(2 x - 5) f (x - 1) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 2) ∪ (\frac{5}{2} ， 4)$ B、 $(4 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， \frac{5}{2}) ∪ (4 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2)$

查看试题解析
3. 已知函数 $y = a - 2 l n x ， (\frac{1}{e} \leq x \leq e)$ 的图象上存在点 $M$ ，函数 $y = x^{2} + 1$ 的图象上存在点 $N$ ，且 $M$ ， $N$ 关于 $x$ 轴对称，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1 - e^{2} ， - 2]$ B、 $[- 3 - \frac{1}{e^{2}} ， + \infty]$ C、 $[- 3 - \frac{1}{e^{2}} ， - 2]$ D、 $[1 - e^{2} ， - 3 - \frac{1}{e^{2}}]$

查看试题解析
4. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + x$ ， $g (x) = \log_{2} x + x$ ， $h (x) = x^{2} + \log_{2} x$ 的零点分别为a，b，c，下列各式正确的是（）

A、 $a + b > 0$ B、 $2^{a} + \log_{2} b > 0$ C、 $b > c$ D、 $2^{a} > c^{2}$

查看试题解析
5. 已知 $a = t a n \frac{1}{2}$ ， $b = t a n \frac{2}{π}$ ， $c = \frac{\sqrt{3}}{π}$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $b < c < a$

查看试题解析

二、多项选择题

6. 已知函数 $f (x) = \sin (3 x + φ) (- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称，则（）

A、函数 $f (x + \frac{π}{12})$ 为奇函数 B、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增 C、若 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = 2$ ，则 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{3}$ D、函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度得到函数 $y = - \cos 3 x$ 的图象

查看试题解析
7. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - x + s i n x$ ，则（）

A、当 $a > 0$ 时， $f (0)$ 是 $f (x)$ 的极小值 B、当 $a = \frac{1}{π}$ 时， $f (\frac{π}{2})$ 是 $f (x)$ 的极大值 C、当 $a < 1 - s i n 1$ 时， $a x^{2} - x + s i n x < 0 (x \in (0 ， 1))$ D、当 $a > 1 - s i n 1$ 时， $a x^{2} - x + s i n x > 0 (x \in (0 ， 1))$

查看试题解析
8. 将函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n 2 x - c o s 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标保持不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，则关于 $g (x)$ 的说法正确的是（）

A、最小正周期为 $2 π$ B、偶函数 C、在 $(\frac{9}{4} π ， \frac{5}{2} π)$ 上单调递减 D、关于 $(\frac{2 k - 1}{8} π ， 0) (k \in Z)$ 中心对称

查看试题解析
9. 已知 $f (x) = \frac{2 e^{x}}{c o s x} ， g (x) = f (x) c o s x - x (1 + c o s x) ，$ 则（）

A、当 $x \in (- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 时， $f {(x)}_{m i n} = f (- \frac{π}{4}) = 2 \sqrt{2} e^{- \frac{π}{4}} ，$ 无最大值 B、当 $x \in (- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 时， $f {(x)}_{m a x} = f (\frac{π}{4}) = 2 \sqrt{2} e^{\frac{π}{4}} ，$ 无最小值 C、当 $x \in [- \frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ 时， $g (x)$ 的值域是( -∞，2] D、当 $x \in [- \frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ 时， $g (x)$ 的值域是[2，+∞)

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} x$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的反函数为 $g (x)$ ，则（）

A、 $g (x) = a^{x}$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）且定义域是 $(0 ， + \infty)$ B、若 $f (9) = 2$ ，则 $g (3) = 27$ C、函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称 D、函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象的交点个数可能为0，1，2，3

查看试题解析

三、填空题

11. 对任意 $x ∈ R$ ，恒有 $f (1 - x) = f (x + 1) = f (x - 1)$ ，对任意 $θ \in [0 ， \frac{π}{2}] ， f (s i n θ) = c o s^{2} θ$ ，现已知函数 $y = f (x)$ 的图像与 $y = k x$ 有4个不同的公共点，则正实数 $k$ 的值为.

查看试题解析
12. $f (x)$ 在 $R$ 上非严格递增，满足 $f (x + 1) = f (x) + 1 ， g (x) = {\begin{array}{l} f (x) ， | x | < 8 \\ f (x - a) ， | x | \geq 8 \end{array}$ ，若存在符合上述要求的函数 $f (x)$ 及实数 $x_{0}$ ，满足 $g (x_{0} + 4) = g (x_{0}) + 1$ ，则 $a$ 的取值范围是.

查看试题解析
13. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} \frac{e^{x}}{x - 1} ， x > 0 且 x \neq 1 ， \\ - f (- x) ， x < 0 且 x \neq - 1 ， \end{cases}$ 若函数 $g (x) = f^{2} (x) - m f (x) - e^{4}$ 有4个零点．则实数 $m$ 的取值范围是．

查看试题解析
14. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (9 - a^{x}) ， g (x) = l o g_{a} (x^{2} - a x)$ ，若对任意 $x_{1} \in [1 ， 2]$ ，存在 $x_{2} \in [3 ， 4]$ 使得 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ 恒成立，则实数a的取值范围为．

查看试题解析

四、解答题

15. 我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (m ， n)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + m) - n$ 为奇函数．已知 $f (x) = \frac{4}{2 + 4^{x}}$ ．

(1)、利用上述结论，证明： $f (x)$ 的图象关于 $(\frac{1}{2} ， 1)$ 成中心对称图形；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性（无需证明），并解关于x的不等式 $f (1 + a x + x^{2}) + f (x) < 2$ ．

查看试题解析
16. 已知函数 $g (x) = a x^{2} - 2 a x + 1 + b$ $(a ， b \geq 0)$ 在 $x \in [1 ， 2]$ 时有最大值1和最小值0，设 $f (x) = \frac{g (x)}{x}$ .

(1)、求实数 $a ， b$ 的值；

(2)、若不等式 $f (\log_{2} x) - 2 k \log_{2} x \leq 0$ 在 $x \in [\frac{1}{8} ， \frac{1}{4}]$ 上恒成立，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $f (| 2^{x} - 1 |) + \frac{2 m}{| 2^{x} - 1 |} - 3 m - 1 = 0$ 有三个不同的实数解，求实数 $m$ 的取值范围.

查看试题解析
17. 已知函数 $f (x) = \frac{m}{1 + e^{x}} + 1 (m \in R)$ 为奇函数.

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、试判断 $f (x)$ 的单调性，并用定义证明；

(3)、设函数 $h (x) = \frac{2}{1 - f (x)} - 2$ ，若 $\frac{1}{3} ⩽ n < 1$ ，函数 $y = | h (x) | - n$ 的两个零点分别为 $a ， b (a < b)$ ，函数 $y = (2 n + 1) | h (x) | - n$ 的两个零点分别为 $c ， d (c < d)$ ，求 $a + b - c + d$ 的最大值.

查看试题解析
18. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (2^{x} + 1) + a x$ 是偶函数.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、设 $g (x) = f (x) + x$ ， $h (x) = x^{2} - 2 x + m$ ，若对任意的 $x_{1} \in [0 ， 4]$ ，存在 $x_{2} \in [0 ， 5]$ ，使得 $g (x_{1}) \geq h (x_{2})$ ，求 $m$ 的取值范围.

查看试题解析
19. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ ．

(1)、当 $a > 0$ 时，设函数 $f (x)$ 的最小值为 $g (a)$ ，证明： $g (a) \leq 1$ ；

(2)、若函数 $h (x) = f (x) - \frac{1}{2} x^{2}$ 。有两个极值点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，
证明： $h (x_{1}) + h (x_{2}) > 2$ ．

查看试题解析
20. 英国数学家泰勒发现了如下公式：
$e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ⋯ + \frac{x^{n}}{n!} + ⋯$
其中 $n! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times ⋯ \times n ， e$ 为自然对数的底数， $e = 2.71828 ⋯ ⋯$ .以上公式称为泰勒公式.设 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2} ， g (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.

(1)、证明： $e^{x} ⩾ 1 + x$ ；

(2)、设 $x \in (0 ， + ∞)$ ，证明： $\frac{f (x)}{x} < g (x)$ ；

(3)、设 $F (x) = g (x) - a (1 + \frac{x^{2}}{2})$ ，若 $x = 0$ 是 $F (x)$ 的极小值点，求实数 $a$ 的取值范围.

查看试题解析