2013年高考理数真题试卷（四川卷）

试卷更新日期：2016-09-28 类型：高考真卷

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一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1. 设集合A={x|x+2=0}，集合B={x|x²﹣4=0}，则A∩B=（）

A、{﹣2} B、{2} C、{﹣2，2} D、∅

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2. 如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（）

A、A B、B C、C D、D

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3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（）

A、￢p：∀x∈A，2x∉B B、￢p：∀x∉A，2x∉B C、￢p：∃x∉A，2x∈B D、￢p：∃x∈A，2x∉B

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5.
函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣ $\frac{π}{2}$ ＜φ＜ $\frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）

A、 $2 ， - \frac{π}{3}$ B、 $2 ， - \frac{π}{6}$ C、 $4 ， - \frac{π}{6}$ D、 $4 ， \frac{π}{3}$

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6. 抛物线y²=4x的焦点到双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的渐近线的距离是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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7. 函数 $y = \frac{x^{3}}{3^{x} - 1}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是（）

A、9 B、10 C、18 D、20

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9. 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{7}{8}$

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10. 设函数 $f (x) = \sqrt{e^{x} + x - a}$ （a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点（x₀ ， y₀）使得f（f（y₀））=y₀ ，则a的取值范围是（）

A、[1，e] B、[e^﹣¹﹣1，1] C、[1，e+1] D、[e^﹣¹﹣1，e+1]

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二、填空题

11. 二项式（x+y）⁵的展开式中，含x²y³的项的系数是（用数字作答）．

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12. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O， $\vec{A B}$ + $\vec{A D}$ =λ $\vec{A O}$ ，则λ= ．

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13. 设sin2α=﹣sinα，α∈（ $\frac{π}{2}$ ，π），则tan2α的值是．

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14. 设P₁ ， P₂ ， …P_n为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P₁ ， P₂ ， …P_n的距离之和最小，则称点P为P₁ ， P₂ ， …P_n的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题：
①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是（写出所有真命题的序号）．

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三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

15. 在等差数列{a_n}中，a₁+a₃=8，且a₄为a₂和a₉的等比中项，求数列{a_n}的首项，公差及前n项和．

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16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos² $\frac{A - B}{2}$ cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣ $\frac{3}{5}$ ．

(1)、求cosA的值；

(2)、若a=4 $\sqrt{2}$ ，b=5，求向量 $\vec{B A}$ 在 $\vec{B C}$ 方向上的投影．

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17.
某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生

(1)、分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率p_i（i=1，2，3）；

(2)、甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行n次后，统计记录输出y的值为i（i=1，2，3）的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计图（部分）
运行次数n
输出y的值为1的频数
输出y的值为2的频数
输出y的值为3的频数
30
14
6
10
…
…
…
…
2100
1027
376
697
乙的频数统计图（部分）
运行次数n
输出y的值为1的频数
输出y的值为2的频数
输出y的值为3的频数
30
12
11
7
…
…
…
…
2100
1051
696
353
当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能性较大；

(3)、将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．

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18. 如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB=AC=2AA₁ ， ∠BAC=120°，D，D₁分别是线段BC，B₁C₁的中点，P是线段AD的中点．

(1)、在平面ABC内，试做出过点P与平面A₁BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD₁A₁；

(2)、设（1）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A﹣A₁M﹣N的余弦值．

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19. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁（﹣1，0），F₂（1，0），且椭圆C经过点 $P (\frac{4}{3} ， \frac{1}{3})$ ．

(1)、求椭圆C的离心率：

(2)、设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且 $\frac{2}{{| A Q |}^{2}} = \frac{1}{{| A M |}^{2}} + \frac{1}{{| A N |}^{2}}$ ，求点Q的轨迹方程．

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20. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + 2 x + a ， x < 0 \\ \ln x ， x > 0 \end{matrix}$ ，其中a是实数，设A（x₁ ， f（x₁）），B（x₂ ， f（x₂））为该函数图象上的点，且x₁＜x₂ ．

(1)、指出函数f（x）的单调区间；

(2)、若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x₂＜0，求x₂﹣x₁的最小值；

(3)、若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．

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运行次数n	输出y的值为1的频数	输出y的值为2的频数	输出y的值为3的频数
30	14	6	10
…	…	…	…
2100	1027	376	697