备战2024年中考数学细点逐一突破真题训练第12章全等三角形（2）-在线组卷题库

1. 如图， $A E ∥ D F$ ， $O E = O F$ ， $∠ B = ∠ C$ .求证： $A B = C D$ .

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2. 下列判断错误的是（）

A、有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B、三条边对应相等的两个三角形全等 C、全等三角形对应边上的高相等 D、三个角对应相等的两个三角形全等

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3. 如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点 $B$ 到 $C$ 的方向平移到 $△ D E F$ 的位置， $A B = 6$ ， $D O = 2$ ，平移距离为 $4$ ，则阴影部分面积为（）

A、 $20$ B、 $24$ C、 $28$ D、 $30$

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4. 已知：如图，点E、F在CD上，且 $∠ A = ∠ B$ ， $A C / / B D$ ， $C F = D E$ ．
求证： $△ A E C$ ≌ $△ B F D$ ．

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5. 同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中， $3 0^{°}$ 角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明.
已知：在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{°} ， ∠ A = 3 0^{°}$ ，
求证： $B C = \frac{1}{2} A B$ .
方法一：如图1，在AB上取一点 $D$ ，使得 $B C = B D$ ，连接CD.
方法二：如图2，延长BC到 $D$ ，使得 $B C = C D$ ，连接AD.
我选择方法 ▲ .
证明：

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， B C = A C ， A (0 ， - 2) ， C (1 ， 0)$ ，点B在第四象限时，则点B的坐标为．

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 3$ ， $∠ B = ∠ C = 40 °$ ．点 $D$ 在线段 $B C$ 上运动（ $D$ 不与 $B$ ， $C$ 重合），连接 $A D$ ，作 $∠ A D E = 40 °$ ， $D E$ 交线段 $A C$ 于点 $E$ ．
⑴当 $∠ B D A = 120 °$ 时， $∠ D E C =$ °；
⑵当 $D C =$ 时， $△ A B D ≌ △ D C E$ ．

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8. 如图，CD是经过 $∠ B C A$ 顶点C的一条直线， $C A = C B$ ， E ， F分别是直线CD上两点，且 $∠ B E C = ∠ C F A = α$ .
图1 图2 图3

(1)、若直线CD经过 $∠ B C A$ 的内部，且E ， F在射线CD上.
①如图1，当 $∠ B C A = α = 90 °$ 时，证明： $B E = C F$ .
②如图2，若 $0 ° < ∠ B C A < 180 °$ ，当 $∠ B C A$ 与 $α$ 满足什么数量关系时，①中的结论仍然成立，并说明理由.

(2)、如图3，若直线CD经过 $∠ B C A$ 的外部， $∠ B C A = α$ ，猜想EF ， BE ， AF三条线段的数量关系，并证明.

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9. 【模型介绍】
如图 $1$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $A B = A D$ ，过点 $B$ 作 $B C ⊥ A C$ 于点 $C$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A C$ 于点 $E$ ．则 $△ A B C ≌ △ D A E$ ．我们把这个数学模型称为“ $K$ 字”模型或“一线三等角”模型．
【模型应用】
在平面直角坐标系中，直线 $y = - 2 x + 4$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ．

(1)、如图 $2$ ，将直线 $y = - 2 x + 4$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $45 °$ ，得到直线 $l$ ，求直线 $l$ 的表达式．下面是小明的想法，请你帮助完成．
小明想利用“一线三等角”模型解决这个问题．如图，过点 $A$ 作 $A B$ 的垂线交 $l$ 于点 $C$ ，再过点 $C$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $D$ ，可求出点 $C$ 的坐标为，从而求得直线 $l$ 的表达式为．

(2)、若将直线 $y = - 2 x + 4$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $45 °$ ，所得直线的表达式为．

(3)、点 $P$ 是线段 $O B$ 上的一个动点，点 $Q$ 是线段 $A B$ 上一动点，若 $△ A P Q$ 是等腰直角三角形，且 $∠ A P Q = 90 °$ ，则点 $Q$ 的坐标是．

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10.

(1)、某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形.如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC ，直线l经过点A ， BD⊥直线l ， CE⊥直线l ，垂足分别为点D、E.证明：DE＝BD+CE.

(2)、组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC ， D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.

(3)、数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG ， AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I ，求证：I是EG的中点.

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11. 八（2）班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究实验活动，请你和他们一起活动吧．
[发现问题]他们在探究实验活动中遇到了下面的问题：如图1， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，若 $A B = 5 ， A C = 3$ ，求 $A D$ 的取值范围．
[探究方法]他们通过探究发现，延长 $A D$ 至点E ，使 $E D = A D$ ，连接 $B E$ ．可以证出 $△ A D C ≌ △ E D B$ ，利用全等三角形的性质可将已知的边长与 $A D$ 转化到 $△ A B E$ 中，进而求出 $A D$ 的取值范围．
方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线 $A D$ 延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”．
[问题解决]

(1)、请你利用上面解答问题的思路方法，写出求 $A D$ 的取值范围的过程．

(2)、如图2， $C D$ 是 $△ A B C$ 的中线，且 $A B = B E = A C$ ，求证： $C E = 2 C D$ ．

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12. 如下是某书中某一页的部分内容：
如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是边 $B C$ 的中点，过点 $C$ 画直线 $C E$ ，使 $C E / / A B$ ，交 $A D$ 的延长线于点 $E$ ，求证： $A D = E D$ .
证明： $∵ C E / / A B$ （已知）
$∴ ∠ A B D = ∠ E C D$ ， $∠ B A D = ∠ C E D$ （两直线平行，内错角相等）.
在 $△ A B D$ 与 $△ E C D$ 中，
$∵ ∠ B A D = ∠ C E D$ ， $∠ A B D = ∠ E C D$ （已证），
$B D = C D$ （已知），
$∴ △ A B D ≌ △ E C D (A A S)$ ，
$∴ A D = E D$ （全等三角形的对应边相等）.
图（1）图（2）图（3）

(1)、【方法应用】如图（1），在 $△ A B C$ 中， $A B = 6 ， A C = 4$ ，则 $B C$ 边上的中线 $A D$ 长度的取值范围是；

(2)、【猜想证明】如图（2），在四边形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ，点 $E$ 是 $B C$ 的中点，若 $A E$ 是 $∠ B A D$ 的平分线，试猜想线段 $A B$ ， $A D$ ， $D C$ 之间的数量关系，并证明你的猜想.

(3)、【拓展延伸】如图（3），已知 $A B / / C F$ ，点 $E$ 是 $B C$ 的中点，点 $D$ 在线段 $A E$ 上， $∠ E D F = ∠ B A E$ ，若 $A B = 5$ ， $C F = 2$ ，直接写出线段 $D F$ 的长。

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13. 已知，正方形的四条边相等，四个角是直角．如图，点E，F分别在正方形 $A B C D$ 的两边 $A B$ 和 $B C$ 上， $D F$ 与 $G E$ 相交于点G ，且 $D F ⊥ C E$ ．

(1)、求证： $B E = C F$ ；

(2)、若 $C D = 8 ， B E = 6$ ，求 $C G$ 的长度．

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14. $R t △ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ 是直线 $C B$ 上的一个动点，连接 $A D$ ，过点 $C$ 作 $A D$ 的垂线，垂足为点 $E$ ，过点 $B$ 作 $A C$ 的平行线交直线 $C E$ 于点 $F$ ．

(1)、如图1，当点 $D$ 为 $B C$ 中点时，请直接写出线段 $B F$ 与 $A C$ 的数量关系．

(2)、如图2，当点 $D$ 在线段 $C B$ 上 $($ 不与 $C$ ， $B$ 重合 $)$ ，请探究线段 $B F$ ， $B D$ ， $A C$ 之间的数量关系(要求：写出发现的结论，并说明理由)．

(3)、如图3，当点 $D$ 在线段 $C B$ 延长线上，请探究线段 $B F$ ， $B D$ ， $A C$ 之间的数量关系(要求：画出图形，写出发现的结论，并说明理由)．

(4)、当点 $D$ 在线段 $B C$ 延长线上，请直接写出线段 $B F$ ， $B D$ ， $A C$ 之间的数量关系．

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15. 如图，点D是△ABC三条角平分线的交点，∠ABC＝68°，若AB+BD＝AC ，则∠ACB的度数为．

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16. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A C F$ 、 $∠ E A C$ 的角平分线 $C P$ 、 $A P$ 交于点 $P$ ，延长 $B A$ 、 $B C$ ， $P M ⊥ B E$ ， $P N ⊥ B F .$ 则下列结论中正确的个数（）
$① B P$ 平分 $∠ A B C$ ； $② ∠ A B C + 2 ∠ A P C = 180 °$ ； $③ ∠ C A B = 2 ∠ C P B$ ； $④ S_{△ P A C} = S_{△ M A P} + S_{△ N C P}$ ．

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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17. 【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第 $96$ 页的部分内容．
角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等．
已知：如图 $1$ ， $O C$ 是 $∠ A O B$ 的平分线，点 $P$ 是 $O C$ 上的任何一点， $P D ⊥ O A$ ， $P E ⊥ O B$ ，垂足分别为点 $D$ 和点 $E$ ．
求证： $P D = P E$ ．
请写出完整的证明过程： $\dots$

(1)、请根据教材内容，结合图 $2$ ，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．

(2)、【应用】如图 $3$ ，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，点 $F$ 在 $A C$ 上， $B D = D F$ ，若 $A B = 13$ ， $A F = 8$ ，则 $C F$ 的长为．

(3)、【拓展】如图 $4$ ，在 $△ A B C$ 中， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点 $D$ ， $D E ⊥ B C$ 于点 $E$ ，若 $∠ A B C = 60 °$ ， $∠ C = 45 °$ ， $D E = 3$ ， $B D = 6$ ，则 $△ A B D$ 的面积．

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18. 综合与实践

(1)、问题初探
如图1，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，AB=BC，将△ABD沿着AD折叠得到△AED，AB的对应边AE落在AC上，点B的对应点为E，折痕AD交BC于点D.
求证：AC=AB+BD；

(2)、方法迁移
如图2，AD是△ABC的角平分线，∠C=2∠B.求证：AB=AC+DC；

(3)、问题拓展
如图3，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是△ABC的外角的平分线，交CB的延长线于点D.请你直接写出线段AC，AB，BD之间的数量关系.

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19. 如图，点 $O$ 是等边 $△ A B C$ 内一点， $D$ 是 $△ A B C$ 外的一点， $∠ A O B = 110 °$ ， $∠ B O C = α$ ， $△ B O C$ ≌ $△ A D C$ ， $∠ O C D = 60 °$ ，连接 $O D$ ．

(1)、求证： $△ O C D$ 是等边三角形；

(2)、当 $α = 150 °$ 时，试判断 $△ A O D$ 的形状，并说明理由；

(3)、探究：当 $α$ 为多少度时， $△ A O D$ 是等腰三角形．

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20. 已知，如图①，在 $△ A O B$ 和 $△ C O D$ 中， $O A = O B$ ， $O C = O D$ ， $∠ A O B = ∠ C O D = 50 °$

(1)、求证：① $△ A O C ≌ △ B O D$ ；② $∠ A P B = 50 °$ ；

(2)、如图②，在 $△ A O B$ 和 $△ C O D$ 中， $O A = O B$ ， $O C = O D$ ， $∠ A O B = ∠ C O D = a$ ，则AC与BD的等量关系为． $∠ A P B$ 的大小为．（直接写出结果，不需要证明）

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21. 如图，A、B、C在同一条直线上， $△ A B F$ 和 $△ B C E$ 均为等边三角形， $A E$ 、 $F C$ 分别交 $F B$ 、 $E B$ 于点M、N，下列结论中：① $△ A B E ≌ △ F B C$ ， ② $A B = F N$ ， ③ $B M = B N$ ， ④ $∠ A D F = 60 °$ ， ⑤ $D B$ 平分 $∠ A D C$ ，其中正确的有．（填序号）

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22. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $∠ B A C = ∠ D A E = 90 ° ， A B = A C ， A D = A E ， C ， D ， E$ 三点在同一条直线上，连接 $B D ， B E$ ．以下四个结论中：① $B E = C E$ ；② $∠ A C E + ∠ D B C = 45 °$ ；③ $B D ⊥ C E$ ；④ $∠ B A E + ∠ D A C = 180 °$ ，正确的个数是（）．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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23. 综合与实践、数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．

(1)、发现问题：如图1，在 $△ A B E$ 与 $△ A C F$ 中， $A B = A E$ ， $A C = A F$ ， $∠ B A E = ∠ C A F$ ， B ， F ， C三点在一条直线上，连接EF交AB于点D ．则线段 $B C$ 与 $E D$ 、 $D F$ 的数量关系是 ▲ ，并说明理由．

(2)、类比探究：如图2，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，以AC为边，作 $△ A C D$ ，满足 $A D = A C$ ， E为BC上一点，连接AE ， $2 ∠ B A E = ∠ C A D$ ，连接 $D E$ ，求证： $D E = C E + 2 B E$ ．

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24. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC=BC=2 $\sqrt{3}$ ， D在线段BC上，E是线段AD上一点．现以CE为直角边，C为直角顶点，在CE的下方作等腰直角△ECF，连接BF．

(1)、如图1，求证：∠CAE＝∠CBF；

(2)、当A、E、F三点共线时，如图2，
①求证：∠DFB＝90°；
②若BF＝2，求AF的长．

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25. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，且 $A D = C D$ ，若 $∠ C B D = α$ ，则 $∠ A D C$ 一定等于（）

A、 $3 α$ B、 $90 ° + 2 α$ C、 $135 ° - 2 α$ D、 $180 ° - 2 α$

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26. 如图 $△ A B C$ 是正三角形， $△ B D C$ 是顶角 $∠ B D C = 120 °$ 的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN ．

(1)、探究：写出线段BM、MN、NC之间的数量关系，并说明理由．

(2)、若点M、N分别是AB、CA延长线上的点，其它条件不变，直接写出线段BM、MN、NC之间的数量关系（不用说明理由），并在图中画出图形．

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27. 我们定义：如图1，在四边形ABCD中，如果 $∠ A = α$ ， $∠ C = 180 ° - α$ ，对角线BD平分 $∠ A B C$ ，我们称这种四边形为“分角对补四边形”.
图1
图2
图3

(1)、特例感知：如图1，在“分角对补四边形”ABCD中，当 $α = 90 °$ 时，根据教材中一个重要性质直接可得 $D A = D C$ ，这个性质是；（填序号）
①垂线段最短：②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理

(2)、猜想论证：如图2，当 $α$ 为任意角时，猜想DA与DC的数量关系，并给予证明；

(3)、探究应用：如图3，在等腰 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 100 °$ ， BD平分 $∠ A B C$ ，
求证： $B D + A D = B C$ .

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28.

(1)、如图 $1$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B = ∠ D = 90 °$ ， $E 、 F$ 分别是边 $B C 、 C D$ 上的点，且 $∠ E A F = \frac{1}{2} ∠ B A D$ ，线段 $E F 、 B E 、 F D$ 之间的关系是；（不需要证明）

(2)、如图 $2$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B + ∠ D = 180 °$ ， $E 、 F$ 分别是边 $B C 、 C D$ 上的点，且 $∠ E A F = \frac{1}{2} ∠ B A D$ ，（ $1$ ）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

(3)、如图 $3$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B + ∠ D = 180 °$ ， $E 、 F$ 分别是边 $B C 、 C D$ 延长线上的点，且 $∠ E A F = \frac{1}{2} ∠ B A D$ ，（ $1$ ）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

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29.

(1)、【问题背景】如图1，点E、F分别在正方形 $A B C D$ 的边 $B C$ 、 $C D$ 上， $∠ E A F = 45 °$ ，连接 $E F$ ，则有 $E F = B E + D F$ ，试说明理由；

(2)、【迁移应用】如图2，四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B A D = 90 °$ ，点E、F分别在边 $B C$ 、 $C D$ 上， $∠ E A F = 45 °$ ，若 $∠ B$ ， $∠ D$ 都不是直角，且 $∠ B + ∠ D = 180 °$ ，试探究 $E F$ 、 $B E$ 、 $D F$ 之间的数量关系；

(3)、【联系拓展】如图3，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点D、E均在边 $B C$ 上，且 $∠ D A E = 45 °$ ，猜想 $B D$ 、 $D E$ 、 $E C$ 满足的等量关系．（直接写出结论，不需要证明）．

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30.

(1)、如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD ， ∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝ $\frac{1}{2}$ ∠BAD ，线段EF、BE、FD之间的关系是；（不需要证明）

(2)、如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD ， ∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝ $\frac{1}{2}$ ∠BAD ，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

(3)、如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD ， ∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝ $\frac{1}{2}$ ∠BAD ，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

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31. 如图，在等边 $△ A B C$ 中，点D ， E分别在边 $B C ， A C$ 上，且 $A E = C D ， B E$ 与 $A D$ 相交于点P ， $B Q ⊥ A D$ 于点Q

(1)、求证： $A D = B E$ ；

(2)、求 $∠ P B Q$ 的度数；

(3)、若 $P Q = 6 ， P E = 2$ ，求 $A D$ 的长．

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32. 如图，在等边三角形 $A B C$ 中，点M为 $A B$ 边上任意一点，延长 $B C$ 至点N ，使 $C N = A M$ ，连接 $M N$ 交 $A C$ 于点P ， $M H ⊥ A C$ 于点H ．

(1)、求证： $M P = N P$ ；

(2)、若 $A B = 8$ ，求线段 $P H$ 的长．

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备战2024年中考数学细点逐一突破真题训练第12章全等三角形（2）

一、基础类型（平移，翻折，轴对称）

二、一线三等角型

三、倍长中线模型

四、十字架全等模型

五、角平分线模型

六、手拉手模型

七、半角模型（对角互补）

八、含30度直角三角形