重庆市渝北区六校联盟2023-2024学年九年级上学期第二次大练兵（期中）数学试题

试卷更新日期：2024-01-25 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. $2023$ 的倒数是（）

A、 $- 2023$ B、 $2023$ C、 $\frac{1}{2023}$ D、 $- \frac{1}{2023}$

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2. 面对新冠病毒疫情，我国毫不动摇坚持动态清零总方针，外防输入，内防反弹，下面是支付宝“国案政务服务平台”中关于疫情防控的四个小程序图标，其中的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、各地疫情风险等级查询 B、扫一扫防疫信息码 C、核酸和抗体检测查询 D、医用口罩信息查询

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3. 下列是一元二次方程的是（）

A、 $x^{2} + 3 y = 5$ B、 $x^{2} - 2 x + 3$ C、 $5 x^{2} + \frac{1}{x} = 2$ D、 $x^{2} - x - 6 = 0$

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4. 在平面直角坐标系中，以原点 $O$ 为圆心， $5$ 为半径作圆，点 $P$ 的坐标是 $(4，3)$ ，则点 $P$ 与 $⊙ O$ 的位置关系是（）

A、点 $P$ 在 $⊙ O$ 内 B、点 $P$ 在 $⊙ O$ 外 C、点 $P$ 在 $⊙ O$ 上 D、点 $P$ 在 $⊙ O$ 上或在 $⊙ O$ 外

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5. 方程 $2 x^{2} - x - 3 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、没有实数根 C、有两个负实数根 D、有两个正实数根

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6. 估计 $\sqrt{5} \times \sqrt{10} - 2 \sqrt{2}$ 的值应在（）

A、 $1$ 和 $2$ 之间 B、 $2$ 和 $3$ 之间 C、 $3$ 和 $4$ 之间 D、 $4$ 和 $5$ 之间

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7. 用围棋子按下面的规律摆放图形，则摆放第 $2023$ 个图形需要围棋子的枚数是（）

A、 $4047$ B、 $6069$ C、 $6070$ D、 $6071$

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8. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，已知 $∠ A C O = 55 °$ ，则 $∠ A B C$ 的大小为（）

A、 $60 °$ B、 $70 °$ C、 $40 °$ D、 $35 °$

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9. 若整数 $a$ 使得关于 $x$ 的分式方程 $\frac{3}{x (x - 1)} - \frac{1}{x} = \frac{a}{2 (x - 1)}$ 有正整数解，且使关于 $y$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l} 4 (y - 1) > 3 (y - 2) + 1 \\ \frac{1 - y}{2} \geq - a - 1 \end{array}$ 至少有 $4$ 个整数解，那么符合条件的所有整数 $a$ 的和为（）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $8$

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10. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，下列结论：
$① a b c < 0$ ；
$② 2 a + b = 0$ ；
$③ m$ 为任意实数时， $a + b \leq m (a m + b)$ ；
$④ a - b + c > 0$ ；
$⑤$ 若 $a x_{1}^{2} + b x_{1} = a x_{2}^{2} + b x_{2}$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = 2 .$ 其中正确的有（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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二、填空题（本大题共8小题，每题4分，共32.0分）

11. $(- 2022)^{0} + \sqrt{9} =$ ．

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12. 如图， $P A$ ， $P B$ 是 $⊙ O$ 的切线， $A$ ， $B$ 是切点，若 $∠ P = 48 °$ ，则 $∠ A O B =$ ．

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13. 节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人，350000000用科学记数法表示为．

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14. 二次函数 $y = - 2 x^{2} + 4 x - 1$ 的顶点坐标是．

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15. 三角形两边的长是 $3$ 和 $4$ ，第三边的长是方程 $x^{2} - 12 x + 35 = 0$ 的根，则该三角形的周长为．

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16. 如图，菱形 $A B C D$ 的边长为 $8$ ， $∠ A = 60 °$ ， $\overset{⏜}{B D}$ 是以点 $A$ 为圆心， $A B$ 长为半径的弧， $\overset{⏜}{C D}$ 是以点 $B$ 为圆心， $B C$ 长为半径的弧，则阴影部分的面积为 $.$ 结果保留根号 $)$

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17. 如图， $P$ 是等边三角形 $A B C$ 内一点，将线段 $A P$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $60 °$ 得到线段 $A Q$ ，连结 $B Q .$ 若 $P A = 6$ ， $P B = 8$ ， $P C = 10$ ，则四边形 $A P B Q$ 的面积为．

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18. 若定义一种新运算： $m @ n = \{\begin{array}{l} m - n (m \leq n) \\ m + n - 3 (m > n) \end{array}$ ，例如： $1$ @ $2 = 1 - 2 = - 1$ ， $4$ @ $3 = 4 + 3 - 3 = 4 .$ 下列说法：

(1)、 $- 7$ @ $9 =$ ；

(2)、 $y = (- x + 1)$ @ $(x^{2} - 2 x + 1)$ 与直线 $y = m (m$ 为常数 $)$ 有 $1$ 个交点，则 $m$ 的取值范围是．

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三、计算题（本大题共2小题，共18.0分）

19. 计算：

(1)、 $25 \times \frac{3}{4} - 25 \times \frac{1}{2} + 25 \times (- \frac{1}{4})$ ；

(2)、 $\frac{a^{2} - 4}{a^{2} + 2 a + 1} \div (1 - \frac{3}{a + 1}) .$

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20. 先化简，再求值： $2 x^{2} y - [5 x y^{2} + 2 (x^{2} y - 3 x y^{2} + 1)]$ ，其中 $x = 4$ ， $y = - \frac{1}{2}$ ．

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四、解答题（本大题共6小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = \frac{1}{2} C D$ ， $D C / / A B .$ 连接 $D B$ ， $∠ D B C = 90 °$ ．

(1)、尺规作图：作线段 $B C$ 的垂直平分线交 $C D$ 于点 $E$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ，
连接 $B E ($ 不写作法，保留作图痕迹 $)$ ；

(2)、在 $(1)$ 所作图中，证明四边形 $A B E D$ 为菱形，完成下列填空．
证明： $∵ E F$ 垂直平分 $B C$
$∴$ ．
$∴ ∠ E B C = ∠ C$
$∵ ∠ D B C = 90 °$
$∴ ∠ E B C + ∠ E B D = 90 °$ ， $∠ C + ∠ E D B = 90 °$
$∴ ∠ E B D = ∠ E D B$
$∴ D E = B E$
$∴ D E =$ $.$ 即 $D E = \frac{1}{2} C D$
$∵ A B = \frac{1}{2} C D$
$∴ D E = A B$
$∵ A B / / D E$
$∴$ 四边形 $A B E D$ 是．
$∵ D E =$ ．
$∴$ 四边形 $A B E D$ 为菱形．

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22. 随着寒冬的来临，“新冠”疫情再次肆虐，某中学为让学生了解“新冠病毒”传染情况，增强学生的防护意识，开展了“远离新冠 $\cdot$ 珍爱生命”的防“新冠”安全知识测试活动，现从学校八、九年级中各随机抽取 $15$ 名学生的测试成绩 $($ 满分 $10$ 分， $8$ 分及 $8$ 分以上为优秀 $)$ 进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
八年级 $15$ 名学生的测试成绩是： $5$ ， $5$ ， $6$ ， $6$ ， $6$ ， $7$ ， $7$ ， $7$ ， $7$ ， $8$ ， $8$ ， $8$ ， $9$ ， $9$ ， $9$ ．

八、九年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、 $8$ 分及以上人数所占百分比如表所示：
年级
平均数
众数
中位数
$8$ 分及以上人数所占百分比
八年级
$8$
$a$
$7$
$40 %$
九年级
$8$
$9$
$b$
$c$
九年级 $15$ 名学生的测试成绩条形统计图如图示．
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、上述表中的 $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ；

(2)、根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生掌握防“新冠”安全知识更好？请说明理由 $($ 一条即可 $)$ ：．

(3)、该中学八年级有 $400$ 名、九年级有 $360$ 名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动获得成绩优秀的学生人数是多少？

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23. 又到了脐橙丰收季，某水果超市老板发现今年奉节脐橙和赣南脐橙很受欢迎，今年 $1$ 月第一周购进奉节脐橙和赣南脐橙两个品种，已知 $1$ 千克赣南脐橙的进价比 $1$ 千克奉节脐橙的进价多 $4$ 元，购买 $20$ 千克赣南脐橙的价格与购买 $30$ 千克奉节脐橙的价格相同．

(1)、今年 $1$ 月第一周每千克奉节脐橙和赣南脐橙的进价分别是多少元？

(2)、今年 $1$ 月第一周，水果超市老板以 $14$ 元每千克售出奉节脐橙 $140$ 千克， $24$ 元每千克售出赣南脐橙 $120$ 千克；第二周水果超市老板又以第一周的价格购进一批奉节脐橙和赣南脐橙，为促进奉节脐橙的销量，该水果超市老板决定调整价格，每千克奉节脐橙的售价在第一周的基础上下降 $0.1 m$ 元，每千克赣南脐橙的售价不变，由于此批奉节脐橙品质较好又便宜，第二周奉节脐橙的销量比第一周增加了 $4 m$ 千克，而赣南脐橙的销量比第一周减少了 $0.5 m$ 千克，最终该水果超市第二周销售两种脐橙总共获利 $2280$ 元，求 $m$ 的值．

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24. 有这样一个问题：探究函数 $y = \frac{1}{x - 1} + x$ 的图象与性质．
小明根据学习函数的经验，对函数 $y = \frac{1}{x - 1} + x$ 的图象与性质进行了探究．

(1)、函数 $y = \frac{1}{x - 1} + x$ 的自变量 $x$ 的取值范围是；

(2)、下表是 $y$ 与 $x$ 的几组对应值，请你求 $m$ 的值；

$x$

$\dots$

$- 3$

$- 2$

$- 1$

$0$

$\frac{1}{2}$

$\frac{3}{4}$

$\frac{5}{4}$

$\frac{3}{2}$

$2$

$3$

$4$

$\dots$

$y$

$\dots$

$- \frac{13}{4}$

$- \frac{7}{3}$

$- \frac{3}{2}$

$- 1$

$- \frac{3}{2}$

$- \frac{13}{4}$

$\frac{21}{4}$

$\frac{7}{2}$

$3$

$\frac{7}{2}$

$m$

$\dots$

(3)、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，描出了以上表中各组数值所对应的点，请你画出该函数的图象；

(4)、结合函数的图象，写出该函数的一条性质：．

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25. 如图 $1$ ，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - \frac{1}{3} x^{2} + b x + 4$ 经过 $A (- 1，3)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，经过点 $C$ 的直线与抛物线交于另一点 $E (6 ， m)$ ，点 $M$ 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与 $x$ 轴交于点 $D$ ．

(1)、求直线 $C E$ 的解析式；

(2)、如图 $2$ ，点 $P$ 为直线 $C E$ 上方抛物线上一动点，连接 $P C$ ， $P E .$ 当 $△ P C E$ 的面积最大时，求点 $P$ 的坐标以及 $△ P C E$ 面积的最大值．

(3)、如图 $3$ ，将点 $D$ 右移一个单位到点 $N$ ，连接 $A N$ ，将 $(1)$ 中抛物线沿射线 $N A$ 平移得到新抛物线 $y'$ ， $y'$ 经过点 $N$ ， $y'$ 的顶点为点 $G$ ，在新抛物线 $y'$ 的对称轴上是否存在点 $H$ ，使得 $△ M G H$ 是等腰三角形？若存在，请直接写出点 $H$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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26. 在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ 为 $B C$ 边上一点，连接 $A D$ ．

(1)、如图 $1$ ，若 $∠ C A D = 30 °$ ， $C D = 2$ ，求 $A B$ 的长；

(2)、如图 $2$ ，将 $△ A B C$ 的边 $A C$ 绕点 $C$ 在同一平面内顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A E C$ ， $F$ 为 $A E$ 延长线上一点，连接 $C F .$ 若 $E F = B D$ ， $∠ E C F = ∠ B A D$ ，求证： $A B = 2 C D$ ；

(3)、如图 $3$ ，在 $(1)$ 的条件下， $M$ 为射线 $A B$ 上一动点，连接 $C M$ ， $D M$ ，将 $△ C D M$ 沿 $C M$ 翻折，得到 $△ M C D'$ ，连接 $A D'$ ， $N$ 为 $A D'$ 的中点，连接 $B N$ ，当 $B N$ 的长度最小时，请直接写出 $\frac{A M}{B M}$ 的值．

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年级	平均数	众数	中位数	$8$ 分及以上人数所占百分比
八年级	$8$	$a$	$7$	$40 %$
九年级	$8$	$9$	$b$	$c$