备战2024年中考数学细点逐一突破真题训练第15章圆-在线组卷题库

1. 下列说法中正确的是（）

A、平分弦的直径垂直于弦 B、圆心角是圆周角的2倍 C、三角形的外心到三角形各边的距离相等 D、从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角

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2. 下列命题中，不正确的是（）

A、一个点到圆心的距离大于这个圆的半径，则这个点在圆外 B、一条直线垂直于圆的半径，那么这条直线是圆的切线 C、两个圆的圆心距等于它们的半径之和，则这两圆外切 D、圆心到一条直线的距离小于这个圆的半径，则这条直线与圆有两个交点

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3. 下列四个图中，∠x是圆周角的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列语句中：①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等，不正确的有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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5. 如图，已知正方形 $A B C D$ ，以点 $A$ 为圆心， $A B$ 长为半径作 $⊙ A$ ，点 $C$ 与 $⊙ A$ 的位置关系为（）

A、点 $C$ 在 $⊙ A$ 外 B、点 $C$ 在 $⊙ A$ 内 C、点 $C$ 在 $⊙ A$ 上 D、无法确定

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6. （多选）如图，已知锐角∠AOB ，按如下步骤作图：（1）在射线OA上取一点C ，以点O为圆心，OC长为半径作 $\hat{P Q}$ ，交射线OB于点D ，连接CD；（2）分别以点C ， D为圆心，CD长为半径作弧，交 $\hat{P Q}$ 于点M ， N；③连接OM ， MN ， ND ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是（　　）

A、∠COM＝∠COD B、若OM＝MN ，则∠AOB＝20° C、MN∥CD D、∠COD＝3∠MND

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7. 如图，正五边形 $A B C D E$ 内接于 $⊙ O$ ，连接 $O C ， O D$ ，则 $∠ B A E - ∠ C O D =$ （）

A、 $60 °$ B、 $54 °$ C、 $48 °$ D、 $36 °$

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8. 如图，A，B，C为 $⊙ O$ 上的三个点， $∠ A O B = 4 ∠ B O C$ ，若 $∠ A C B = 60 °$ ，则 $∠ B A C$ 的度数是（）

A、 $20 °$ B、 $18 °$ C、 $15 °$ D、12°

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9. 如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形， $∠ B = 58 °$ ， $∠ A C D = 40 °$ ．若 $⊙ O$ 的半径为5，则 $\overset{⌢}{D C}$ 的长为（　　）

A、 $\frac{13}{3} π$ B、 $\frac{10}{9} π$ C、 $π$ D、 $\frac{1}{2} π$

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10. 如图，点O是 $△ A B C$ 外接圆的圆心，点I是 $△ A B C$ 的内心，连接 $O B$ ， $I A$ ．若 $∠ C A I = 35 °$ ，则 $∠ O B C$ 的度数为（）

A、 $15 °$ B、 $17.5 °$ C、 $20 °$ D、 $25 °$

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11. 已知 $⊙ O$ 的直径 $C D = 10 cm$ ， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦， $A B ⊥ C D$ ，垂足为 $M$ ，且 $A B = 8 cm$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{5} cm$ B、 $4 \sqrt{3} cm$ C、 $2 \sqrt{5} cm$ 或 $4 \sqrt{5} cm$ D、 $2 \sqrt{3} cm$ 或 $4 \sqrt{3} cm$

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12. 已知 $⊙ O$ 的直径 $C D = 4 ， A B$ 是 $⊙ O$ 的弦， $A B ⊥ C D$ ，垂足为 $M$ ，且 $A B = 2 \sqrt{3}$ ，则 $∠ A C D$ 的度数为（）

A、30° B、60° C、30°或60° D、45°或60°

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13. 下列命题正确的是（）

A、在一个三角形中至少有两个锐角 B、在圆中，垂直于弦的直径平分弦 C、如果两个角互余，那么它们的补角也互余 D、两条直线被第三条直线所截，同位角一定相等

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14. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图． $\overset{⌢}{A B}$ 是以O为圆心， $O A$ 为半径的圆弧，C是弦 $A B$ 的中点，D在 $\overset{⌢}{A B}$ 上， $C D ⊥ A B$ ． “会圆术”给出 $\overset{⌢}{A B}$ 长l的近似值s计算公式： $s = A B + \frac{C D^{2}}{O A}$ ，当 $O A = 2$ ， $∠ A O B = 90 °$ 时， $| l - s | =$ ．（结果保留一位小数）

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15. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一 $.$ 图 $②$ 是从正面看到的一个“老碗” $($ 图 $①)$ 的形状示意图． $\overset{⌢}{A B}$ 是 $⊙ O$ 的一部分， $D$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，连接 $O D$ ，与弦 $A B$ 交于点 $C$ ，连接 $O A$ ， $O B .$ 已知 $A B = 24 c m$ ，碗深 $C D = 8 c m$ ，则 $⊙ O$ 的半径 $O A$ 为（）

A、 $13 c m$ B、 $16 c m$ C、 $17 c m$ D、 $26 c m$

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16. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $A C = 5$ ，以 $A B$ 为直径作 $⊙ O$ ，交 $A C$ 于点F，连接 $C O$ 并延长，分别交 $⊙ O$ 于D、E两点，连接 $B E$ 、 $B D$ ．

(1)、求证： $B C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求证： $B C^{2} = C D \cdot C E$ ；

(3)、求 $∠ A B E$ 的正切值．

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17. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，C，D为 $⊙ O$ 上两点，连接 $A C$ ， $B C$ ， $A D$ ， $C D$ ，线段 $C D$ 与 $A B$ 相交于点E，过点D作 $∠ A D F = ∠ A C D$ ， $D F$ 交 $C A$ 的延长线于点F．

(1)、求证： $D F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $D F ∥ A B$ ， $C E = \frac{4 \sqrt{10}}{5}$ ， $D E = \sqrt{10}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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18. 如图，点D ， E在以 $A C$ 为直径的 $⊙ O$ 上， $∠ A D C$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点B ，连接 $B A$ ， $E C$ ， $E A$ ，过点E作 $E H ⊥ A C$ ，垂足为H ，交 $A D$ 于点F ．

(1)、求证： $A E^{2} = A F \cdot A D$ ；

(2)、若 $s i n ∠ A B D = \frac{2 \sqrt{5}}{5} ， A B = 5$ ，求 $A D$ 的长．

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19. 如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cos∠ACB的值是．

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20. 如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，直线 $D C$ 是 $⊙ O$ 的切线，切点为 $C$ ， $A E ⊥ D C$ ，垂足为 $E$ ．连接 $A C$ ．

(1)、求证： $A C$ 平分 $∠ B A E$ ；

(2)、若 $A C = 5$ ， $t a n ∠ A C E = \frac{3}{4}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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21. 已知，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 60 ° ， B C = 4 \sqrt{3} ， A D ⊥ B C ， B E ⊥ A C$ ，垂足分别为 $D ， E ， A D ， B E$ 相交于点 $G$ ，则 $D G$ 的长度的最大值为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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22. 在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点.如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM=4，BN=2.若点Р是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN=45°的△PMN中，边PM的长的最大值为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、6 C、 $2 \sqrt{10}$ D、 $3 \sqrt{5}$

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23. 如图， $⊙ M$ 的半径为2，圆心M的坐标为 $(3 ， 4)$ ，点P是 $⊙ M$ 上的任意一点， $P A ⊥ P B$ ，且 $P A 、 P B$ 与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则 $A B$ 的最大值为（　　）

A、9 B、10 C、12 D、14

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24. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点， $D$ 为 $B A$ 延长线上一点， $∠ A C D = ∠ B$ ， $⊙ O$ 的半径为5．

(1)、求证： $D C$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $∠ B = 30 °$ ，求图中阴影部分的面积（结果保留 $π$ ）；

(3)、若 $s i n B = \frac{3}{5}$ ，求 $C D$ 的长．

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25. 如图， $Δ A B C$ 是等腰直角三角形， $∠ A C B = 90 °$ ，以BC为直径作 $⊙ O$ 交斜边AB于点D，点M是 $\overset{⌢}{C D}$ 中点，过点M作直线 $M E ⊥ A B$ 于点E，交AC于点F.

(1)、证明：EF是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $M E = \sqrt{2}$ ，求图中阴影部分面积.

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26. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若 $∠ C A O = 40 °$ ， $∠ A C B = 70 °$ ，则阴影部分的面积是（）

A、 $\frac{4}{3} π$ B、 $\frac{8}{3} π$ C、 $\frac{16}{3} π$ D、 $\frac{32}{3} π$

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27. 如图，某玩具品牌的标志由半径为 $1 c m$ 的三个等圆构成，且三个等圆 $⊙ O_{1} ， ⊙ O_{2} ， ⊙ O_{3}$ 相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（　　）

A、 $\frac{1}{4} π c m^{2}$ B、 $\frac{1}{3} π c m^{2}$ C、 $\frac{1}{2} π c m^{2}$ D、 $π c m^{2}$

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28. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是（）

A、 $5 \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} π$ B、 $5 \sqrt{3} - 4 π$ C、 $5 \sqrt{3} - 2 π$ D、 $10 \sqrt{3} - 2 π$

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29. 如图， $⊙ O$ 的半径是 $2 \sqrt{5}$ ， AB是 $⊙ O$ 的直径，半径 $O C ⊥ A B$ 于点O，点E是半径 $O A$ 上一点， $C E$ 交 $⊙ O$ 于点D，且 $P D = P E$ .

(1)、求证： $P D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $t a n ∠ A C D = \frac{1}{2}$ ，求： $B D$ 和 $A C$ 的长.

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30. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A B = 2 \sqrt{10}$ ， $⊙ O$ 的弦 $C D ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $C D = 6$ ．过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $A B$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $B C$ ．

(1)、求证： $B C$ 平分 $∠ D C F$ ；

(2)、 $G$ 为 $\overset{⌢}{A D}$ 上一点，连接 $C G$ 交 $A B$ 于点 $H$ ，若 $C H = 3 G H$ ，求 $B H$ 的长．

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31. 已知 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O ， A B = A C ， ∠ B A C = 42 °$ ，点D是 $⊙ O$ 上一点.

(1)、如图①，若 $B D$ 为 $⊙ O$ 的直径，连接 $C D$ ，求 $∠ D B C$ 和 $∠ A C D$ 的大小；

(2)、如图②，若 $C D$ // $B A$ ，连接 $A D$ ，过点D作 $⊙ O$ 的切线，与 $O C$ 的延长线交于点E，求 $∠ E$ 的大小.

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32. 如图1，已知 $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形，AB为直径， $∠ A = 38 °$ ， D为 $\overset{⌢}{A B}$ 上一点.
图1 图2

(1)、当点D为 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点时，连接DB ， DC ，求 $∠ A B C$ 和 $∠ A B D$ 的大小；

(2)、如图2，过点D作 $⊙ O$ 的切线，与AB的延长线交于点P ，且 $D P ∥ A C$ ，连接DC ， OC ，求 $∠ O C D$ 的大小.

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33. 如图，由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹）

(1)、在图①中的圆上找一点D（不与点B重合），使∠ADC＝90°；

(2)、在图②中的圆上找一点E，使OE平分弧AB；

(3)、在图③中的圆上找一点F，使AF平分∠BAC．

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34. 如图，在△ABC中，已知∠ABC=120°，AC=4，

(1)、用直尺和圆规作出△ABC的外接圆⊙O （不写作法，保留作图痕迹）；

(2)、求∠AOC的度数；

(3)、求⊙O的半径.

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35. 如图，A，B，C是方格纸中的格点，请按要求作图.

(1)、在图1中画出一个以A，B，C，D为顶点的格点平行四边形.

(2)、在图2中画出一个格点P，使得∠BPC＝ $\frac{1}{2}$ ∠BAC.

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36. 已知四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，对角线 $B D$ 是 $⊙ O$ 的直径．

(1)、如图1，连接 $O A ， C A$ ，若 $O A ⊥ B D$ ，求证； $C A$ 平分 $∠ B C D$ ；

(2)、如图2， $E$ 为 $⊙ O$ 内一点，满足 $A E ⊥ B C ， C E ⊥ A B$ ，若 $B D = 3 \sqrt{3}$ ， $A E = 3$ ，求弦 $B C$ 的长．

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37. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点C、D、E在 $⊙ O$ 上，若 $∠ D C B = 115 °$ ， $∠ E A B = 55 °$ ，且 $A B = 4 \sqrt{3}$ ，则 $E D$ 为（）

A、 $2 \sqrt{6}$ B、6 C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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38. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，C是圆上一点，D是 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，弦 $D E ⊥ A B$ ，垂足为点F．

(1)、求证： $B C = D E$ ；

(2)、P是 $\overset{⌢}{A E}$ 上一点， $A C = 6 ， B F = 2$ ，求 $t a n ∠ B P C$ ；

(3)、在（2）的条件下，当 $C P$ 是 $∠ A C B$ 的平分线时，求 $C P$ 的长．

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39. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点， $D$ 为 $A B$ 上一点， $B D = B C$ ，过点 $A$ 作 $A E ⊥ A B$ 交 $C D$ 的延长线于点 $E$ ， $C E$ 交 $⊙ O$ 于点 $G$ ，连接 $A C$ ， $A G$ ，在 $E A$ 的延长线上取点 $F$ ，使 $∠ F C A = 2 ∠ E$ ．

(1)、求证： $C F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为 $5$ ， $A C = 6$ ，求 $A G$ 的长．

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40. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦， $A B = 4$ ， $C$ 是 $⊙ O$ 上的一个动点，且 $∠ A C B = 45 °$ .若 $M$ ， $N$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 的中点，则 $M N$ 长的最大值是（）

A、2 B、4 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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备战2024年中考数学细点逐一突破真题训练第15章圆

一、圆的基本概念及定义

二、圆周角定理及其推论

三、垂径定理及其推论

四、圆与锐角三角函数

五、阿氏圆、隐含圆问题

六、圆阴影面积

七、圆切线相关证明

八、网格作图

九、圆中有关线段的计算