湖南省长沙市五校联考2023-2024学年八年级上学期月考数学试题

试卷更新日期：2024-01-25 类型：月考试卷

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一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1. 随着自主研发能力的增强，我国在制造芯片最重要也是最艰难的技术上有了新突破——光刻机，将在2021～2022年交付第一台28nm工艺的国产沉浸式光刻机，其中数据28nm（即0.000000028m）用科学记数法可表示为（）

A、 $2.8 \times 1 0^{- 6} m$ B、 $2.8 \times 1 0^{- 7} m$ C、 $2.8 \times 1 0^{- 8} m$ D、 $2.8 \times 1 0^{- 9} m$

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2. 要使 $\frac{x + 1}{x - 1}$ 分式有意义，则 $x$ 的取值应满足（）

A、 $x = - 1$ B、 $x = 1$ C、 $x \neq - 1$ D、 $x \neq 1$

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3. 在下列运算中，计算正确的是（）

A、 ${(- x^{3} y)}^{2} = x^{6} y^{2}$ B、 $x^{3} \cdot x^{3} = x^{9}$ C、 $x^{2} + x^{2} = x^{4}$ D、 $2 x^{6} \div x^{2} = 2 x^{3}$

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4. 一个等腰三角形的两边长分别为3cm，4cm，则它的周长是（）

A、11cm B、10cm C、10cm或7cm D、11cm或10cm

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5. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）

A、 $a m + b m + c = m (a + b) + c$ B、 $(x + 2) (x - 2) = x^{2} - 4$ C、 $x^{2} - 2 x + 1 = {(x - 1)}^{2}$ D、 $8 a^{2} b^{3} = 2 a^{2} \cdot 4 b^{3}$

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6. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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7. 若点 $P (m ， - 2)$ ， $B (- 4 ， n - 3)$ 关于 $x$ 轴对称，则（）

A、 $m = - 4$ ； $n = 5$ B、 $m = - 4$ ； $n = - 5$ C、 $m = 4$ ； $n = 1$ D、 $m = 4$ ； $n = - 1$

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8. 若 $(x^{2} - m x + 1) (x - 3)$ 展开后不含 $x$ 的一次项，则 $m$ 的值是（）

A、3 B、1 C、 $- \frac{1}{3}$ D、0

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9. 将分式 $\frac{x^{2}}{x + y}$ 中的 $x$ ， $y$ 的值同时扩大到原来的2倍，则分式的值（）

A、扩大到原来的2倍 B、保持不变 C、缩小到原来的 $\frac{1}{2}$ D、无法确定

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10. 如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $D E ⊥ A C$ ，垂足为 $E$ ， $B F / / A C$ 交 $E D$ 的延长线于点 $F$ ，若 $B C$ 恰好平分 $∠ A B F$ ， $A E = 2 B F$ .给出下列四个结论：① $D E = D F$ ；② $D B = D C$ ；③ $A D ⊥ B C$ ；④ $A C = 3 B F$ ，其中正确的结论共有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11. 计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} - {(2022 - π)}^{0} =$ .

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12. 若分式 $\frac{x + 3}{x - 2}$ 的值为0，则 $x =$ .

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13. 若x²+mx+16是完全平方式，则m＝．

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14. 如图所示，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别为 $B C$ ， $A D$ 的中点，且 $S_{△ A B C} = 4 c m^{2}$ ，则阴影部分的面积为 $c m^{2}$ .

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15. 已知 ${(a + b)}^{2} = 36$ ， ${(a - b)}^{2} = 4$ ，则 $a^{2} + b^{2} =$ .

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16. 关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x + a}{x - 3} - \frac{6}{x} = 1$ 无解，则 $a =$ .

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三、解答题（共9小题，共72分）

17.

(1)、计算： ${(x + 2)}^{2}$

(2)、因式分解： $4 m^{2} - 9$

(3)、化简： ${(\frac{b}{a c})}^{2} \cdot \frac{a^{2} c}{3 b^{2}} \div \frac{1}{3 a c}$

(4)、计算： $\frac{3}{x - 3} - \frac{18}{x^{2} - 9}$

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18. 解分式方程：

(1)、 $\frac{1}{m + 2} + \frac{1}{m - 4} = 0$

(2)、 $\frac{x - 2}{x + 2} - 1 = \frac{16}{x^{2} - 4}$

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19. 先化简，再求值： $(\frac{a^{2} - 5 a + 2}{a + 2} + 1) \div \frac{a^{2} - 4}{a^{2} + 4 a + 4}$ ，其中 $a = 3$ .

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20. 如图， $D E ⊥ A B$ 的延长线于 $E$ ， $D F ⊥ A C$ 于 $F$ ，若 $B D = C D$ ， $B E = C F$ .

(1)、求证： $△ B D E ≅ △ C D F$ ；

(2)、求证： $A D$ 平分 $∠ B A C$ .

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21. 平面直角坐标系中， $△ A B C$ 各顶点坐标分别为 $A (0 ， 1)$ 、 $B (2 ， 0)$ 、 $C (4 ， 3)$ ．

(1)、若 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 与 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称，请在平面直角坐标系中画 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ；

(2)、 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的面积是；

(3)、已知 $P$ 为 $x$ 轴上一点，若 $△ A B P$ 的面积为4，求点 $P$ 的坐标．

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22. 为了迎接在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干吉祥物钥匙扣和明信片，已知吉祥物钥匙扣的进价为18元/个，明信片的进价为6元/套，一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元.若顾客花150元购买的吉祥物钥匙扣数量与花50元购买的明信片数量相同.

(1)、求吉祥物钥匙扣和明信片的售价；

(2)、为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行9折销售，某顾客同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，商家获毛利80元，请问有几种购买方案.

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23. 如图

(1)、如图1， $△ A B C$ 与 $△ C D E$ 中， $∠ B = ∠ E = ∠ A C D = 90 °$ ， $A C = C D$ ， $B$ 、 $C$ 、 $E$ 三点在同一直线上， $A B = 3$ ， $E D = 4$ ，求 $B E$ 的长．

(2)、如图2，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $B C = 4$ ，过点 $C$ 作 $C D ⊥ A C$ ，且 $C D = A C$ ，求 $△ B C D$ 的面积．

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24. 我们知道，任意一个正整数 $k$ 都可以进行这样的分解： $k = m \times n$ （ $m$ ， $n$ 是正整数，且 $m \leq n$ ），在 $k$ 的所有这种分解中，如果 $m$ ， $n$ 两因数之差的绝对值最小，我们就称 $m \times n$ 是 $k$ 的最佳分解，并规定： $f (k) = \frac{m}{n}$ ．例如：18可以分解成 $1 \times 18$ ， $2 \times 9$ 或 $3 \times 6$ ，因为 $18 - 1 > 9 - 2 > 6 - 3$ ，所以 $3 \times 6$ 是18的最佳分解，所以 $f (18) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ ．

(1)、 $f (20) =$ ； $f (36) =$ ； $f (x^{2})$ （ $x$ 为正整数） $=$ ；

(2)、若 $x$ 是正整数，①猜想 $f (x^{2} + 2 x)$ 的表达式；②若 $f (x^{2} + 2 x) = \frac{2022}{2023}$ ，求 $x$ 的值；

(3)、若 $f (x^{2} - 49) = 1$ ，其中 $x$ 是整数，求 $x$ 的值．

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25. 已知 $△ A B C$ 为等边三角形，取 $△ A B C$ 的边 $A B$ ， $B C$ 中点 $D$ ， $E$ ，连接 $D E$ ，如图1，易证 $△ D B E$ 为等边三角形，将 $△ D B E$ 绕点 $B$ 顺时针旋转，设旋转的角度 $∠ A B D = α$ ，其中 $0 < α < 180 °$ .

(1)、如图2，当 $α = 30 °$ ，连接 $A D$ ， $C E$ ，求证： $A D = C E$ ；

(2)、在 $△ D B E$ 旋转过程中，当 $α$ 超过一定角度时，如图3，连接 $A D$ ， $C E$ 会交于一点，记交点为点 $F$ ， $A D$ 交 $B C$ 于点 $P$ ， $C E$ 交 $B D$ 于点 $Q$ ，连接 $B F$ ，请问 $B F$ 是否会平分 $∠ C B D$ ？如果是，求出 $α$ ，如果不是，请说明理由；

(3)、在第（2）问的条件下，试猜想线段 $A F$ ， $B F$ 和 $C F$ 之间的数量关系，并说明理由．

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