北京市昌平区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-01-25 类型：期末考试

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一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个

1. 如图，这是一张海上日出照片，如果把太阳看作一个圆，把海平面看作一条直线，那么这个圆与这条直线的位置关系是（）

A、相离 B、相切 C、相交 D、不确定

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2. 如果 $2 m = 3 n (n \neq 0)$ ，那么下列比例式成立的是（）

A、 $\frac{m}{2} = \frac{n}{3}$ B、 $\frac{m}{3} = \frac{n}{2}$ C、 $\frac{m}{n} = \frac{2}{3}$ D、 $\frac{m}{2} = \frac{3}{n}$

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3. 将抛物线 $y = 2 x^{2}$ 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的表达式为（）

A、 $y = 2 {(x + 2)}^{2} + 3$ B、 $y = 2 {(x - 2)}^{2} + 3$ C、 $y = 2 {(x - 2)}^{2} - 3$ D、 $y = 2 {(x + 2)}^{2} - 3$

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4. 如图，点A ， B ， C ， D在⊙O上，AC是⊙O的直径，∠BAC=40°，则∠D的度数是（）

A、40° B、50° C、60° D、90°

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5. 在平面直角坐标系xOy中，若点 $A (x_{1} ， 1)$ 和 $B (x_{2} ， 4)$ 在反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 图象上，则下列关系式正确的是（）

A、 $0 < x_{2} < x_{1}$ B、 $0 < x_{1} < x_{2}$ C、 $x_{1} < x_{2} < 0$ D、 $x_{2} < x_{1} < 0$

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6. 如图，一艘轮船航行至O点时，测得某灯塔A位于它的北偏东40°方向，且它与灯塔A相距13海里，继续沿正东方向航行，航行至点B处时，测得灯塔A恰好在它的正北方向，则 $A B$ 的距离可表示为（）

A、 $13 c o s 40 °$ 海里 B、 $13 s i n 40 °$ 海里 C、 $\frac{13}{s i n 50 °}$ 海里 D、 $\frac{13}{c o s 50 °}$ 海里

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7. 如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， B D ⊥ A C$ 于点 $D ， c o s A = \frac{3}{5}$ ，则 $s i n ∠ C B D$ 的值（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $2$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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8. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形，D ， E分别是 $A C$ ， $B C$ 边上的点，且 $A D = C E$ ，连接 $B D$ ， $A E$ 相交于点F ，则下列说法正确的是（）
① $△ A B D ≌ △ C A E$ ； ② $∠ B F E = 60 °$ ；③ $△ A F B ∽ △ A D F$ ；④若 $\frac{A D}{A C} = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{A F}{B F} = \frac{1}{2}$

A、①②③ B、①②④ C、②③④ D、①③④

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二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）

9. 写出一个开口向下且过 $(0 ， 1)$ 的抛物线的表达式．

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10. 如图，M为反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上的一点， $M A ⊥ y$ 轴，垂足为A ， $△ M A O$ 的面积为3，则k的值为．

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11. 在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形 $A B C D E F$ ）的外接圆，已知正六边形 $A B C D E F$ 的边长是4，则 $\overset{⌢}{B C}$ 长为．

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12. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，E为 $B C$ 的中点， $D E$ ， $A C$ 交于点F ，则 $△ C E F$ 和 $△ A D F$ 的面积比为．

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13. 如图，在 $⊙ O$ 中，半径 $O C$ 垂直弦 $A B$ 于点D ，若 $O C = 3$ ， $A B = 4 \sqrt{2}$ ，则 $C D$ 的长为．

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14. 小明同学测量一个圆形零件的半径时，他将直尺、三角板和这个零件如图放置于桌面上，零件与直尺，三角板均相切，测得点A与其中一个切点B的距离为3cm，则这个零件的半径是cm．

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15. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 直径，点C是 $⊙ O$ 上一点， $O C = 1$ 且 $∠ B O C = 60 °$ ，点D是 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，点P是直径 $A B$ 上一动点，则 $C P + D P$ 的最小值为．

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16. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （a ， b ， c为常数， $a \neq 0$ ）的对称轴是直线 $x = 1$ ，其部分图象如图，则以下四个结论中：① $a b c > 0$ ；② $2 a + b = 0$ ；③ $3 a + c < 0$ ；④ $4 a + b^{2} > 4 a c$ ．其中，正确结论的序号是．

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三、解答题（本题共12道小题，第17题5分，第18题4分，第19题6分，第20-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分）

17. 计算： $s i n 30 ° \cdot t a n 45 ° + \sqrt{3} t a n 30 ° - c o s^{2} 45 °$ ．

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18. 如图， $△ A B C$ 中，点D是边AB上一点，点E为 $△ A B C$ 外一点， $D E ∥ B C$ ，连接BE ．从下列条件中：① $∠ E = ∠ A$ ；② $\frac{D E}{B A} = \frac{D B}{B C}$ ．选择一个作为添加的条件，求证： $△ E D B ∽ △ A B C$ ．

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19. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的y与x的部分对应值如下表：
x
…
$- 3$
$- 1$
1
3
…
y
…
$- 3$
0
1
0
…

(1)、求这个二次函数表达式；

(2)、在平面直角坐标系中画出这个函数图象；

(3)、当x的取值范围为时， $y > - 3$ ．

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D ⊥ A B$ 于点D ， $C D = \sqrt{3}$ ， $B D = 1$ ，求 $s i n ∠ B C D$ 及 $A C$ 的长．

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21. 已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ．
求作：射线 $B P$ ，使得 $∠ A B P = \frac{1}{2} ∠ B A C$ ．
作法：①以点A为圆心， $A B$ 长为半径画圆；
②延长 $B A$ 交 $⊙ A$ 于点D ，以点D为圆心， $B C$ 长为半径画弧，与 $⊙ A$ 交于点P（点C ， P在线段 $B D$ 的同侧）；
③作射线 $B P$ ．
射线 $B P$ 即为所求．

(1)、使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明
证明：连接 $A P ， D P$ ．
∵ $A B = A C$ ，
∴点C在 $⊙ A$ 上．
∵ $\overset{⌢}{D P} = \overset{⌢}{D P}$ ，
∴ $∠ A B P = \frac{1}{2} ∠ D A P$ （）（填推理依据）．
∵ $D P = B C$ ，
∴ $∠ D A P =$ ．
∴ $∠ A B P = \frac{1}{2} ∠ B A C$ ．

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22. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (1 ， 2)$ 在双曲线 $y_{1} = \frac{k_{1}}{x} (k_{1} \neq 0)$ 上，点B在双曲线 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x} (k_{2} \neq 0)$ 上，且满足 $O A ⊥ O B$ ，连接 $A B$ ．

(1)、求双曲线 $y_{1} = \frac{k_{1}}{x} (k_{1} \neq 0)$ 的表达式；

(2)、若 $t a n ∠ O A B = \sqrt{2}$ ，求 $k_{2}$ 的值．

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23. 某校组织九年级学生参加社会实践活动，数学学科的项目任务是测量银山塔林中某塔的高度 $A B$ ，其中一个数学兴趣小组设计的方案如图所示，他们在点C处用高1.5m的测角仪 $C D$ 测得塔顶A的仰角为 $37 °$ ，然后沿 $C B$ 方向前行7m到达点F处，在F处测得塔顶A的仰角为 $45 °$ ．请根据他们的测量数据求塔高 $A B$ 的长度大约是多少．（参考数据： $s i n 37 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $c o s 37 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $t a n 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ， $s i n 53 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $c o s 53 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $t a n 53 ° \approx \frac{4}{3}$ ．）

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24. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上，点 $D$ 为 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，过点 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线，交 $B C$ 延长线于点 $P$ ，连接 $O D$ 交 $A C$ 于点 $E$ ．

(1)、求证：四边形 $D E C P$ 是矩形；

(2)、作射线 $A D$ 交 $B C$ 的延长线于点F ，若 $t a n ∠ C A B = \frac{3}{4}$ ， $B C = 6$ ，求 $D F$ 的长．

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25. 如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和点A处，测得 $O A$ 距离为 $6 m$ ，若以点O为原点， $O A$ 所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面 $1 m$ 的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线 $C_{1}$ ： $y = a {(x - 3)}^{2} + 2$ 的一部分，小静恰在点 $C (0 ， c)$ 处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线 $C_{2}$ ： $y = - \frac{1}{8} x^{2} + \frac{n}{8} x + c + 1$ 的一部分．

(1)、抛物线 $C_{1}$ 的最高点坐标为；

(2)、求a ， c的值；

(3)、小林在x轴上方 $1 m$ 的高度上，且到点A水平距离不超过 $1 m$ 的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n的整数值可为．

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $(0 ， 3)$ ， $(6 ， y_{1})$ 在抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 上．

(1)、当 $y_{1} = 3$ 时，求抛物线的对称轴；

(2)、若抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 经过点 $(- 1 ， - 1)$ ，当自变量x的值满足 $- 1 \leq x \leq 2$ 时，y随x的增大而增大，求a的取值范围；

(3)、当 $a > 0$ 时，点 $(m - 4 ， y_{2})$ ， $(m ， y_{2})$ 在抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 上．若 $y_{2} < y_{1} < c$ ，请直接写出m的取值范围．

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27. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，点M为 $B C$ 的中点，连接 $A M$ ，点D为线段 $C M$ 上一动点，过点D作 $D E ⊥ B C$ ，且 $D E = D M$ ，（点E在 $B C$ 的上方），连接 $A E$ ，过点E作 $A E$ 的垂线交 $B C$ 边于点F ．

(1)、如图1，当点D为 $C M$ 的中点时，
①依题意补全图形；
②直接写出 $B F$ 和 $D E$ 的数量关系为 ▲ ；

(2)、当点D在图2的位置时，用等式表示线段 $B F$ 和 $D E$ 之间的数量关系，并证明．

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28. 对于在平面直角坐标系中 $⊙ T$ 和 $⊙ T$ 外的点P ，给出如下定义：已知 $⊙ T$ 的半径为1，若 $⊙ T$ 上存在点Q ，满足 $P Q \leq 2$ ，则称点P为 $⊙ T$ 的关联点．

(1)、如图，若点T的坐标为 $(0 ， 0)$ ，
①在点 $P_{1} (3 ， 0)$ ， $P_{2} (3 ， - 2)$ ， $P_{3} (- 2 ， 2)$ 中，是 $⊙ T$ 的关联点的是 ▲ ；
②直线 $y = 2 x + b$ 分别交x轴，y轴于点A ， B ，若线段AB存在 $⊙ T$ 的关联点，求b的取值范围；

(2)、已知点 $C (0 ， \sqrt{3})$ ， $D (1 ， 0)$ ， $T (m ， 1)$ ， $△ C O D$ 上的每一个点都是 $⊙ T$ 的关联点，直接写出m的取值范围．

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x	…	$- 3$	$- 1$	1	3	…
y	…	$- 3$	0	1	0	…