北京市大兴区2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2024-01-25 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 将 $0.00008$ 用科学记数法表示应为（）

A、 $0.8 \times 10^{- 4}$ B、 $8 \times 10^{- 4}$ C、 $80 \times 10^{- 4}$ D、 $8 \times 10^{- 5}$

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2. 下列运算中正确的是（）

A、 $a \cdot a^{2} = a^{3}$ B、 $(a^{2})^{3} = a^{5}$ C、 $a^{8} \div a^{2} = a^{4}$ D、 $a^{5} + a^{5} = 2 a^{10}$

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3. 下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（）

A、 $x^{2} + 1$ B、 $x^{2} - 4$ C、 $x^{3} - 8$ D、 $x^{2} + 4 x + 1$

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4. 若分式 $\frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ 的值为0，则x的值为（　　）

A、1 B、-1 C、0 D、±1

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5. 已知 $x^{2} - 8 x + a$ 是完全平方式，则 $a$ 的值为（）

A、 $4$ B、 $8$ C、 $16$ D、 $- 16$

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6. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P (2，1)$ 关于 $y$ 轴对称的点的坐标是（）

A、 $(- 2，1)$ B、 $(2，1)$ C、 $(- 2 ， - 1)$ D、 $(2 ， - 1)$

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7. 已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则它的周长是（）.

A、 $12$ B、 $16$ C、 $20$ D、 $16$ 或 $20$

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8. 如图，某小区规划在边长为 $x m$ 的正方形场地上，修建两条宽为 $2 m$ 的甬道，其余部分种草，则甬道所占的面积 $($ 单位 $m^{2})$ 是（）

A、 $4 x$ B、 $x^{2} - 4 x$ C、 $(x - 2)^{2}$ D、 $x^{2} - (x - 2)^{2}$

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二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

9. 若分式 $\frac{2}{x - 1}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是．

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10. 计算： $(\frac{a b^{2}}{c^{2}})^{3} =$ ．

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11. 计算： $\frac{2 x^{2}}{y} \div \frac{x^{3}}{y^{3}} =$ ．

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12. 分解因式：3x²-6x+3= ．

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13. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形， $A B = 2$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，则线段 $B D$ 的长为．

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14. 如图， $A C = A D$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ，要使 $△ A D E$ ≌ $△ A C B$ ，则需再添加一个条件是 $($ 写出一个即可 $)$ ．

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15. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么 $∠ 1$ 的度数为．

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16. 如图， $△ A B C$ 的角平分线 $C D$ ， $B E$ 相交于点 $F$ ， $∠ A = 90 °$ ， $E G / / B C$ ，且 $C G ⊥ E G$ 于点 $G$ ，下列结论： $① ∠ C E G = ∠ D C B$ ； $② C A$ 平分 $∠ B C G$ ； $③ ∠ A D C = ∠ G C D$ ； $④ ∠ D F B = \frac{1}{2} ∠ C G E$ ，其中正确的结论是 $($ 只填序号 $)$ ．

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三、计算题：本大题共1小题，共5分。

17. 先化简，再求值：（x+y）（x-y）-x（x-2y），其中x= $\frac{1}{3}$ ， y=3．

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四、解答题：本题共11小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18. 计算： $\sqrt{4} + | - 2 | - (- 2023)^{0} + (\frac{1}{2})^{- 1}$ ．

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19. 计算： $(x - 2 y)^{2}$ ．

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20. 计算： $(a + 1 + \frac{1}{a - 1}) \cdot \frac{a - 1}{a}$ ．

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21. 已知：如图，点 $B$ ， $E$ ， $C$ ， $F$ 顺次在同一条直线上，点 $A$ ， $D$ 在直线 $B C$ 的同侧， $B E = C F$ ， $A B / / D E$ ， $A B = D E .$ 求证： $∠ A = ∠ D$ ．

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22. 解方程： $\frac{3}{2 (x - 2)} + \frac{x}{2 - x} = \frac{1}{2}$ ．

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23. 求证：当 $n$ 是整数时，两个连续奇数的平方差 $(2 n + 1)^{2} - (2 n - 1)^{2}$ 是这两个奇数的和的 $2$ 倍．

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24. 小月是学校图书馆 $A$ 书库的志愿者，小杰是学校图书馆 $B$ 书库的志愿者，他们各自负责本书库的整理工作 $. 6$ 月 $5$ 日，图书馆 $A$ 书库有 $120$ 册图书需整理，而 $B$ 书库有 $80$ 册图书需整理，小月每小时整理图书的数量是小杰每小时整理图书数量的 $1.2$ 倍，他们同时开始工作，结果小杰比小月提前 $15$ 分钟完成工作 $.$ 求小月和小杰每小时分别可以整理多少册图书．

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25. 已知：如图， $△ A B C$ 是等边三角形，点 $D$ 在 $B C$ 边上，点 $C$ 关于直线 $A B$ 的对称点为 $C'$ ，连接 $C' B$ ，点 $P$ 是线段 $C' B$ 上的一点，连接 $A P$ ， $P D$ ，延长 $A B$ 到点 $E$ ，使 $B E = B D$ ，连接 $P E .$ 求证： $P D = P E$ ．

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26. 已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 60 °$ ，设 $A B = c$ ， $A C = b$ ，如果 $b^{2} + c^{2} - 4 (b + c) + 8 = 0$ ．

(1)、求证： $△ A B C$ 是等边三角形；

(2)、 $△ A B C$ 的中线 $B D$ ， $C E$ 交于点 $O$ ，用等式表示线段 $O D$ 与 $O B$ 之间的数量关系，并证明．

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27. 已知：如图， $O B = B A = A C$ ， $∠ O B A = 150 °$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，连接 $B C$ ， $O A$ ， $O C$ ，过点 $O$ 作 $O D ⊥ A C$ 于点 $D$ ，过点 $A$ 作 $△ A O B$ 的高线 $A E$ ，交 $O B$ 的延长线于点 $E$ ．

(1)、求证： $△ A O E$ ≌ $△ A O D$ ；

(2)、求 $∠ D O C$ 的度数．

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28. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于 $P$ ， $Q$ 两点给出如下定义：若点 $P$ 的横纵坐标的绝对值之和等于点 $Q$ 的横纵坐标的绝对值之和，则称 $P$ ， $Q$ 两点为“等和点” $.$ 下图中的 $P$ ， $Q$ 两点即为“等和点”．

(1)、已知点 $A$ 的坐标为 $(- 2，4)$ ，
$①$ 在点 $S (0，2)$ ， $T (1，5)$ ， $W (2 ， - 4)$ 中，与点 $A$ 为“等和点”的是 $($ 只填字母 $)$ ；
$②$ 若点 $B$ 在第一象限的角平分线上，且 $A$ ， $B$ 两点为“等和点”，则点 $B$ 的坐标为；

(2)、已知点 $C$ 的坐标为 $(3，0)$ ，点 $D$ 的坐标为 $(0 ， - 3)$ ，连接 $C D$ ，点 $M$ 为线段 $C D$ 上一点，过点 $N (n ， 0)$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$ ，若垂线 $l$ 上存在点 $M$ 的“等和点”，求 $n$ 的取值范围．

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