湖南省衡阳市南岳重点中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2024-01-25 类型：期末考试

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 要使二次根式 $\sqrt{x + 1}$ 有意义，字母x必须满足的条件是（）

A、x≥1 B、x>－1 C、x≥－1 D、x>1

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2. 抛物线y＝3x²向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）

A、y＝3(x－1)²－2 B、y＝3(x＋1)²－2 C、y＝3(x＋1)²＋2 D、y＝3(x－1)²＋2

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3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 关于 $x$ 的一元二次方程 $(k + 3) x^{2} + 5 x + k^{2} + 2 k - 3 = 0$ 的一个根是 $0$ ，则 $k$ 的值是（）

A、 $- 3$ 或 $1$ B、 $1$ C、 $- 3$ D、 $- 1$

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5. 若反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象经过点 $A (4 ， - \frac{1}{2})$ ，则 $k$ 的值为（）

A、 $2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- 2$

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6. 已知扇形的圆心角为 $100 °$ ，半径为 $9$ ，则弧长为（）

A、 $\frac{45}{2} π$ B、 $5 π$ C、 $8 π$ D、 $10 π$

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7. 如图，△AOB中，∠AOB=90°，现在将△AOB绕点O逆时针旋转44°，得到△A'OB'，则∠A'OB的度数为（）

A、44° B、66° C、56° D、46°

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8. 七年级一班同学组织了元旦联欢会，文艺委员准备在“横扫千军”“飞花令”“成语接龙”“看图猜诗词”四个项目中选择两个，则她选中“飞花令”和“看图猜诗词”的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{12}$

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9. 以 $3$ 和 $4$ 为根的一元二次方程是（）

A、 $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ B、 $x^{2} + 7 x + 12 = 0$ C、 $x^{2} + 7 x - 12 = 0$ D、 $x^{2} - 7 x - 12 = 0$

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10. 等腰三角形的底边长为 $10 c m$ ，周长为 $36 c m$ ，则底角的正切值是（）

A、 $\frac{12}{5}$ B、 $\frac{5}{13}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、无法确定

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二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11. 点 $(1 ， - 5)$ 关于原点对称的点的坐标为．

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12. 某射击运动员封闭训练 $10$ 个月，每天击中 $9$ 环以上的频率记录如图，封闭训练结束时，估计这名运动员射击一次时“击中 $9$ 环以上”的概率为 $($ 结果保留一位小数 $)$ ．

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13. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - x + m = 0$ 没有实数根，则 $m$ 的取值范围是．

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14. 如图，已知 $\overset{⏜}{A B}$ 与 $\overset{⏜}{C D}$ 是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心 $O$ ，所对的圆心角都是 $72 °$ 、 $A$ 、 $C$ 、 $O$ 在同一直线上，公路宽 $A C = 20$ 米，则弯道外侧边线比内侧边线多米 $($ 结果保留 $π)$ ．

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15. 在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同的2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之积为偶数的概率为．

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16. 读一读：式子“ $1 + 2 + 3 + 4 + \dots + 100$ ”表示从 $1$ 开始的 $100$ 个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为 $\sum_{n = 1}^{100} n$ ，这里“ $\sum$ ”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算 $\sum_{n = 1}^{2016} \frac{1}{n (n + 1)} =$ ．

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三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.
如图，△OAB中，OA=OB=4，∠A=30°，AB与⊙O相切于点C，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

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18. 已知，如图，AD=BC.求证：AB=CD
.

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19. 如图，二次函数的图象与 $x$ 轴交于 $A (- 3，0)$ 和 $B (1，0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C (0，3)$ ，点 $C$ 、 $D$ 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点 $B$ 、 $D$ ．

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的 $x$ 的取值范围；

(3)、若直线与 $y$ 轴的交点为 $E$ ，连结 $A D$ 、 $A E$ ，求 $△ A D E$ 的面积．

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20. 某公司实行年工资制，职工的年工资由基础工资、住房补贴和医疗费三项组成，具体规定如下：
项目
第一年的工资 $($ 万元 $)$
一年后的计算方法
基础工资
$1$
每年的增长率相同
住房补贴
$0.04$
每年增加 $0.04$
医疗费
$0.1384$
固定不变

(1)、设基础工资每年增长率为 $x$ ，用含 $x$ 的代数式表示第三年的基础工资为万元；

(2)、某人在公司工作了 $3$ 年，他算了一下这 $3$ 年拿到的住房补贴和医疗费正好是这 $3$ 年基础工资总额的 $18 %$ ，问基础工资每年的增长率是多少？

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21. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $D C$ 边上一点， $∠ E A B = ∠ E B C$ ．

(1)、求证： $△ A B E$ ∽ $△ B E C$ ；

(2)、若 $A B = 4$ ， $D E = 3$ ，求 $B E$ 的长．

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22. 某县生态果园 $2019$ 年冬桃产量为 $80$ 吨， $2021$ 年冬桃产量为 $115.2$ 吨，若该生态果园冬桃产量的年平均增长率相同．

(1)、求该生态果园冬桃产量的年平均增长率．

(2)、若下一年冬桃产量的年增长率不变，请预估 $2022$ 年该生态果园冬桃产量．

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23. 如图，以 $△ A B C$ 的边 $A B$ 为直径作⊙O，交边 $A C$ 于点D， $B C$ 为⊙O的切线，弦 $D E ⊥ A B$ 于点F，连接 $B E$ ．

(1)、求证： $∠ A B E = ∠ C$ ．

(2)、若点F为 $O B$ 中点，且 $O F = 1$ ，求线段 $E D$ 的长．

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项目	第一年的工资 $($ 万元 $)$	一年后的计算方法
基础工资	$1$	每年的增长率相同
住房补贴	$0.04$	每年增加 $0.04$
医疗费	$0.1384$	固定不变