备战2024年中考数学细点逐一突破真题训练第14章锐角三角函数及其应用-在线组卷题库

1. 计算： $| \sqrt{3} - 2 | + 2 s i n 60 ° - 202 3^{0} =$ ．

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2. 计算： $| - \sqrt{3} | + {(\frac{1}{2})}^{- 1} + {(π + 1)}^{0} - t a n 60 °$ ．

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3. 计算： $\frac{t a n 45 °}{s i n 60 ° \cdot c o t 30 °} - \sqrt{{(s i n 30 ° - 1)}^{2}} + 2 c o s^{2} 45 °$

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ 是 $A B$ 的中点， $D E ⊥ A B$ ，交 $A C$ 于 $E$ ，若 $\frac{A E}{E C} = \frac{5}{3}$ ，则 $t a n ∠ A =$ .

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5. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $M$ 是 $A D$ 的中点， $B E = 3 A E$ ，求 $c o s ∠ E C M$ 的值.

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6. 如图，在网格中小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则 $s i n ∠ A B C$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

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7. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点 $D$ 在 $B C$ 边上， $∠ A D C = 45 °$ ， $B D = 3$ ， $t a n B = \frac{4}{5}$ ，求 $B C$ 的长．

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8. 如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到 $△ A B C$ ，则 $t a n ∠ A C B$ 的值是．

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9. 如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形ABCD ，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰Rt△ABE和等腰Rt△BCF ， ③和④分别是Rt△CDG和Rt△DAH ， ⑤是正方形EFGH ，直角顶点E ， F ， G ， H分别在边BF ， CG ， DH ， AE上．

(1)、若EF＝3cm ， AE+FC＝11cm ，则BE的长是 cm ．

(2)、若 $\frac{D G}{G H} = \frac{5}{4}$ ，则tan∠DAH的值是．

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10. 日照间距系数反映了房屋日照情况，如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数 $= L ： (H - H_{1})$ ，其中 $L$ 为楼间水平距离， $H$ 为南侧楼房高度， $H_{1}$ 为北侧楼房底层窗台至地面高度.如图②，山坡 $E F$ 朝北， $E F$ 长为 $15 m$ ，坡度为 $i = 1 ： 0.75$ ，山坡顶部平地 $E M$ 上有一高为 $22.5 m$ 的楼房 $A B$ ，底部 $A$ 到 $E$ 点的距离为 $4 m$ .

(1)、求山坡 $E F$ 的水平宽度 $F H$ ；

(2)、欲在 $A B$ 楼正北侧山脚的平地 $F N$ 上建一楼房 $C D$ ，已知该楼底层窗台 $P$ 处至地面 $C$ 处的高度为 $0.9 m$ ，要使该楼的日照间距系数不低于 $1.25$ ，底部 $C$ 距 $F$ 处至少多远？

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11. 为了增强学生体质、针炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动.如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为 $B$ 点和 $C$ 点，行进路线为 $A \to B \to C \to A$ . $B$ 点在 $A$ 点的南偏东 $2 5^{°}$ 方向 $3 \sqrt{2} k m$ 处， $C$ 点在 $A$ 点的北偏东 $8 0^{°}$ 方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角 $∠ A B C$ 为 $4 5^{°}$ .
⑴求行进路线BC和CA所在直线的夹角 $∠ B C A$ 的度数；

⑵求检查点 $B$ 和 $C$ 之间的距离(结果保留根号).

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12. 如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2．

(1)、求加固后坝底增加的宽度AF的长；

(2)、求完成这项工程需要土石多少立方米？

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13. 小亮周末到公园散步，当他沿着一段平坦的直线跑道行走时，前方出现一棵树AC和一栋楼房BD，如图，假设小亮行走到F处时正好通过树顶C看到楼房的E处，此时 $∠ B F E = 30 °$ ，已知树高 $A C = 10$ 米，楼房 $B D = 30$ 米，E处离地面25米．

(1)、求树与楼房之间的距离AB的长；

(2)、小亮再向前走多少米从树顶刚好看不到楼房BD？（结果保留根号）

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14. 我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔.小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点 $A$ 处测得阿育王塔最高点 $C$ 的仰角 $∠ C A E = 45 °$ ，再沿正对阿育王塔方向前进至 $B$ 处测得最高点 $C$ 的仰角 $∠ C B E = 53 °$ ， $A B = 10 m$ ；小亮在点 $G$ 处竖立标杆 $F G$ ，小亮的所在位置点 $D$ 、标杆顶 $F$ 、最高点 $C$ 在一条直线上， $F G = 1.5 m$ ， $G D = 2 m$ .

(1)、求阿育王塔的高度 $C E$ ；

(2)、求小亮与阿育王塔之间的距离 $E D$ .
（注：结果精确到 $0.01 m$ ，参考数据： $\sin 53 ° \approx 0.799$ ， $\cos 53 ° \approx 0.602$ ， $\tan 53 ° \approx 1.327$ ）

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15. 如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成如图2， $A B$ 是灯杆， $C D$ 是灯管支架，灯管支架 $C D$ 与灯杆间的夹角 $∠ B D C = 60 °$ .综合实践小组的同学想知道灯管支架 $C D$ 的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得 $A E = 3$ m， $E F = 8$ m（A，E，F在同一条直线上）.根据以上数据，解答下列问题：

(1)、求灯管支架底部距地面高度 $A D$ 的长（结果保留根号）；

(2)、求灯管支架 $C D$ 的长度（结果精确到0.1m，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）.

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16. $2023$ 年 $5$ 月 $30$ 日 $9$ 点 $31$ 分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面 $O$ 处发射，当飞船到达 $A$ 点时，从位于地面 $C$ 处的雷达站测得 $A C$ 的距离是 $8 k m$ ，仰角为 $30 °$ ； $10 s$ 后飞船到达 $B$ 处，此时测得仰角为 $45 °$ ．

(1)、求点 $A$ 离地面的高度 $A O$ ；

(2)、求飞船从 $A$ 处到 $B$ 处的平均速度．(结果精确到 $0.1 k m / s$ ，参考数据： $\sqrt{3}$ $\approx 1.73$ )

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17. 综合与实践
【问题情境】南宁青秀山龙象塔始建于明代万历年间，塔呈八角形，九级重檐结构，是青秀山的地标建筑．在一次数学综合实践活动中，李老师布置了一个任务：请根据所学知识设计一种方案，测量龙象塔的高．

(1)、【实践探究】某小组通过思考，绘制了如图2所示的测量示意图，即在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为 $α$ ，点C到点B的距离 $B C = a$ 米，即可得出塔高 $A B =$ 米（请你用所给数据 $α$ 和a表示）．

(2)、【问题解决】但在实践中发现：由于无法直接到达塔底端的B点，因此BC无法直接测量．该小组对测量方案进行了如下修改：如图3，从水平地面的C点向前走a米到达点D处后，在D处测得塔顶端A的仰角为 $β$ ，即可通过计算求得塔高AB．若测得的 $α = 45 °$ ， $β = 60 °$ ， $C D = 22$ 米，请你利用所测数据计算塔高AB．（计算结果精确到1米，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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18. 图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时情景.
图2是小明锻炼时上半身由EM位置运动到与地面垂直的EN位置时的示意图.

已知BC＝0.64米，AD＝0.24米，AB＝1.30米.

(1)、求AB的倾斜角α的度数（精确到x）；

(2)、若测得EN＝0.85米，试计算小明头顶由M点运动到N点的路径 $\overset{⌢}{M N}$ 的长度.（精确到0.01米）

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19. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段 $A B C$ 表示车后盖，已知 $A B = 1 m$ ， $B C = 0.6 m$ ， $∠ A B C = 123 °$ ，该车的高度 $A O = 1.7 m$ ．如图2，打开后备箱，车后盖 $A B C$ 落在 $A B^{^{'}} C^{^{'}}$ 处， $A B^{'}$ 与水平面的夹角 $∠ B^{'} A D = 27 °$ ．

(1)、求打开后备箱后，车后盖最高点 $B^{'}$ 到地面 $l$ 的距离；

(2)、若小琳爸爸的身高为 $1.8 m$ ，他从打开的车后盖 $C^{'}$ 处经过，有没有碰头的危险?请说明理由．
（结果精确到 $0 ． 01 m$ ，参考数据： $s i n 27 ° \approx 0.454$ ， $c o s 27 ° \approx 0.891$ ， $t a n 27 ° \approx 0.510$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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20. 如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候“绿灯”一辆车从被山峰 $P O Q$ 遮挡的道路②上的点B处由南向北行驶．已知 $∠ P O Q = 30 ° ， B C ∥ O Q$ ， $O C ⊥ O Q ， A O ⊥ O P$ ，线段 $A O$ 的延长线交直线 $B C$ 于点D．

(1)、求 $∠ C O D$ 的大小；

(2)、若在点B处测得点O在北偏西 $α$ 方向上，其中 $t a n α = \frac{\sqrt{3}}{5} ， O D = 12$ 米．问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处的货车？（当该轿车行驶至点D处时，正好发现点A处的货车）

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21. 图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度 $O A = 160 c m$ ，识别的最远水平距离 $O B = 150 c m$ 。

(1)、身高 $208 c m$ 的小杜，头部高度为 $26 c m$ ，他站在离摄像头水平距离 $130 c m$ 的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别。

(2)、身高 $120 c m$ 的小若，头部高度为 $15 c m$ ，踮起脚尖可以增高 $3 c m$ ，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为 $20 °$ （如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明。
（精确到 $0 ． 1 c m$ ，参考数据 $s i n 15 ° \approx 0 ， 26 ， c o s 15 ° \approx 0.97 ， t a n 15 ° \approx 0.27 ， s i n 20 ° \approx 0.34 ， c o s 20 ° \approx 0.94 ， t a n 20 ° \approx 0.36$ ）

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22. 公园草坪上有一架秋千 $O A$ ，秋千静止时，底端 $A$ 到地面的距离 $A B$ 为 $0.5 m$ ，从坚直位置开始，向右可摆动的最大夹角为 $α ， s i n α = \frac{3}{5}$ ，已知秋千的长 $O A = 2 m$ ．

(1)、如图1，当向右摆动到最大夹角时，求 $A^{'}$ 到地面的距离；

(2)、如图2，若有人在 $B$ 点右侧搭建了一个等腰 $△ P C D$ 帐篷，已知 $B C = 0.6 m ， C D = 2 m$ ，帐篷的高 $P H$ 为 $1.8 m$ ，秋千摆动的过程中是否会撞到帐篷？若不会撞到，请说明理由；若会撞到，则帐篷应该向右移动超过多少米才能不被撞到？

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23. 图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱 $O A$ 垂直地面 $O B$ ，支架 $C D$ 与 $O A$ 交于点 $A$ ，支架 $C G ⊥ C D$ 交 $O A$ 于点 $G$ ，支架 $D E$ 平行地面 $O B$ ，篮筐 $E F$ 与支架 $D E$ 在同一直线上， $O A = 2.5$ 米， $A D = 0.8$ 米， $∠ A G C = 3 2^{°}$ .

(1)、求 $∠ G A C$ 的度数.

(2)、某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由.
（参考数据： $s i n 3 2^{°} \approx 0.53 ， c o s 3 2^{°} \approx 0.85 ， t a n 3 2^{°} \approx 0.62$ ）

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24. 如图，光从空气斜射入水中，入射光线 $A B$ 射到水池的水面B点后折射光线 $B D$ 射到池底点D处，入射角 $∠ A B M = 30 °$ ，折射角 $∠ D B N = 22 °$ ；入射光线 $A C$ 射到水池的水面C点后折射光线 $C E$ 射到池底点E处，入射角 $∠ A C M^{'} = 60 °$ ，折射角 $∠ E C N^{'} = 40.5 °$ ． $D E ∥ B C$ ， $M N$ 、 $M^{'} N^{'}$ 为法线．入射光线 $A B$ 、 $A C$ 和折射光线 $B D$ 、 $C E$ 及法线 $M N$ 、 $M^{'} N^{'}$ 都在同一平面内，点A到直线 $B C$ 的距离为6米．

(1)、求 $B C$ 的长；（结果保留根号）

(2)、如果 $D E = 8.72$ 米，求水池的深．（参考数据： $\sqrt{2}$ 取1.41， $\sqrt{3}$ 取1.73， $s i n 22 °$ 取0.37， $c o s 22 °$ 取0.93， $t a n 22 °$ 取0.4， $s i n 40.5 °$ 取0.65， $c o s 40.5 °$ 取0.76， $t a n 40.5 °$ 取0.85）

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25. 如图是某风车平面示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片 $O A ， O B$ ，此时各叶片影子在点M右侧形成线段 $C E$ ， O的对应点为D，测得 $M C = 4 m ， C E = 16 m$ ，此时太阳的与地面的夹角为 $30 °$ （即 $∠ O D M = 30 °$ ）．

(1)、求旋转中心到地面的距离 $O M$ 的值．

(2)、风车转动时，要求叶片外端离地面的最低高度高于 $2.5$ 米，请判断此风车是否符合要求．

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26. 问题：如何设计“倍力桥”的结构？

图1是搭成的“倍力桥”，纵梁a，c夹住横梁 $b$ ，使得横梁不能移动，结构稳固.

图2是长为 $l (c m)$ ，宽为 $3 c m$ 的横梁侧面示意图，三个凹槽都是半径为 $1 c m$ 的半圆.圆心分别为 $O_{1} ， O_{2} ， O_{3} ， O_{1} M = O_{1} N ， O_{2} Q = O_{3} P$ $= 2 c m$ ，纵梁是底面半径为 $1 c m$ 的圆柱体.用相同规格的横梁、纵梁搭“桥”，间隙忽略不计.

探究1：图3是“桥”侧面示意图，A，B为横梁与地面的交点，C，E为圆心，D，H₁ ， H₂是横梁侧面两边的交点.测得AB=32cm，点C到AB的距离为12cm.试判断四边形CDEH₁的形状，并求 $l$ 的值.

探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形.

①若有12根横梁绕成环，图4是其侧面示意图，内部形成十二边形 $H_{1} H_{2} H_{3} … H_{12}$ ，求 $l$ 的值；

②若有n根横梁绕成的环（n为偶数，且n≥6），试用关于n的代数式表示内部形成的多边形 $H_{1} H_{2} H_{3} … H_{n}$ 的周长.

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27. 如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $B D$ 是 $⊙ O$ 的弦，点 $P$ 是 $⊙ O$ 外的一点， $P C ⊥ A B$ ，垂足为点 $C$ ， $P C$ 与 $B D$ 相交于点 $E$ ，连接 $P D$ ，且 $P D = P E$ ，延长 $P D$ 交 $B A$ 的延长线于点 $F$ ．

(1)、求证： $P D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $D F = 4$ ， $P E = \frac{7}{2}$ ， $c o s ∠ P F C = \frac{4}{5}$ ，求 $B E$ 的长．

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28. 如图，点D ， E在以 $A C$ 为直径的 $⊙ O$ 上， $∠ A D C$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点B ，连接 $B A$ ， $E C$ ， $E A$ ，过点E作 $E H ⊥ A C$ ，垂足为H ，交 $A D$ 于点F ．

(1)、求证： $A E^{2} = A F \cdot A D$ ；

(2)、若 $s i n ∠ A B D = \frac{2 \sqrt{5}}{5} ， A B = 5$ ，求 $A D$ 的长．

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29. 如图1，已知线段 $A B$ ， $A C$ ，线段 $A C$ 绕点 $A$ 在直线 $A B$ 上方旋转，连接 $B C$ ，以 $B C$ 为边在 $B C$ 上方作 $R t △ B D C$ ，且 $∠ D B C = 30 °$ ．

(1)、若 $∠ B D C = 90 °$ ，以 $A B$ 为边在 $A B$ 上方作 $R t △ B A E$ ，且 $∠ A E B = 90 °$ ， $∠ E B A = 30 °$ ，连接 $D E$ ，用等式表示线段 $A C$ 与 $D E$ 的数量关系是　　；

(2)、如图2，在(1)的条件下，若 $D E ⊥ A B$ ， $A B = 4$ ， $A C = 2$ ，求 $B C$ 的长；

(3)、如图3，若 $∠ B C D = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $A C = 2$ ，当 $A D$ 的值最大时，求此时 $t a n ∠ C B A$ 的值．

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备战2024年中考数学细点逐一突破真题训练第14章锐角三角函数及其应用

一、实数的运算

二、特殊角的三角函数值

三、拥抱型-实际应用

四、背靠背型-实际应用

五、母子型-实际应用

六、生活情境应用

七、跨学科背景应用

八、几何综合应用