山西省晋中市寿阳县2023-2024学年九年级上学期数学月考考试试卷（12月）

试卷更新日期：2024-01-25 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把正确答案的标号用2B铅笔填(涂)在答题卡内相应的位置上）

1. 在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则∠B的度数为（　　）

A、30° B、45° C、60° D、75°

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2. 下列各点中，在反比例函数y= $\frac{8}{x}$ 图象上的是（　　）

A、（﹣1，8） B、（﹣2，4） C、（1，7） D、（2，4）

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3. 运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，则它的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图，A是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 图象上第二象限内的一点，若△ABO的面积为4，则 $k$ 的值为（　　）

A、8 B、﹣8 C、4 D、-4

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5. 下列叙述正确的是（）

A、任意两个等腰三角形相似 B、任意两个平行四边形相似 C、任意两个矩形相似 D、任意两个正方形相似

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6. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，1），以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A^'的坐标是（　　）

A、（1，1） B、（4，4）或（8，2） C、（4，4） D、（4，4）或（-4，-4）

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7. 如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（　　）

A、1：4 B、1：3 C、1：2 D、2：3

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8. 反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象在第一、三象限，点A（﹣2， $y_{1}$ ）、B（4， $y_{2}$ ）、C（5， $y_{3}$ ）是图象上的三点，则 $y_{1} ， y_{2} ， y_{3}$ 的大小关系是（　　）

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y_{2} > y_{3} > y_{1}$ C、 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$ D、 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$

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9. 如图，某一时刻太阳光下，小明测得一棵树落在地面上的影子长为2.8米，落在墙上的影子高为1.2米，同一时刻同一地点，身高1.6米他在阳光下的影子长0.4米，则这棵树的高为（　　）米．

A、6.2 B、10 C、11.2 D、12.4

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10. 如果一个等腰三角形的顶角为36°，那么其底边与腰之比等于 $\frac{\sqrt{5 - 1}}{2}$ ，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，△ABC看作第一个黄金三角形；作∠ABC的平分线BD，交AC于点D，△BCD看作第二个黄金三角形；作∠BCD的平分线CE，交BD于点E，△CDE看作第三个黄金三角形；…以此类推，第2023个黄金三角形的腰长是（　　）

A、 ${(\frac{\sqrt{5} - 1}{2})}^{2022}$ B、 ${(\frac{\sqrt{5} - 1}{2})}^{2021}$ C、 ${(\frac{3 + \sqrt{5}}{2})}^{2020}$ D、 ${(\frac{3 + \sqrt{5}}{2})}^{2019}$

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二、填空题(每小题3分，共15分)

11. 反比例函数 $y = \frac{m - 3}{x}$ 的图象在二、四象限，则 $m$ 应满足．

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12. 如图，点P在△ABC的边AC上，要使△ABP∽△ACB，添加一个条件．

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13. 从某个方向观察一个正六棱柱，可看到如图所示的图形，其中四边形ABCD为矩形，E、F分别是AB、DC的中点．若AD＝8，AB＝6，则这个正六棱柱的侧面积为；．

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14. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 和 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，且AB∥ $x$ 轴，若 $S_{∆ A O B} = 2$ ，则 $k$ 的值为．

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15. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ，延长 $B C$ 至 $E$ ，使 $C E = 2$ ，连接 $A E$ ， $C F$ 平分 $∠ D C E$ 交 $A E$ 于 $F$ ，连接 $D F$ ，则 $D F$ 的长为．

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三、解答题：本大题共8小题，共75分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16. 解方程或计算

(1)、解方程： $3 x^{2} - 1 = 4 x$ ；

(2)、解方程： ${(3 x - 1)}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

(3)、计算： $s i n 45 ° + t a n 45 ° - 2 c o s 60 °$

(4)、计算： $2 c o s 30 ° + {(π - 3.14)}^{0} + {(\frac{1}{3})}^{- 1} - 2 t a n 60 °$

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17. 如图，△ABC的顶点都在网格点上，点B的坐标（-2，1）

(1)、以点O为位似中心，把△ABC按2：1放大在y轴的左侧，画出放大后的△DEF；

(2)、点A的对应点D的坐标是；

(3)、 $S_{∆ A B O} ： S_{四边形 A B E D}$ = ．

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18. 如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD于E，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．

(1)、求证：△ABF∽△EAD；

(2)、若AB=3，AD=2，∠BAE=30°，求BF的长．

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19. 如图，一次函数 $y = a x + b$ 的图与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于A（﹣2，m），B（4，﹣2）两点，与x轴交于C点，过A作AD⊥x轴于D．

(1)、求这两个函数的解析式；

(2)、求△ADC的面积；

(3)、根据图象直接写出不等式 $a x + b > \frac{k}{x}$ 的解集.

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20. 阅读与思考
下面是小宇同学的一篇日记，请仔细阅读并完成相应的任务．

在物理活动课上，我们“博学”小组的同学，参加了一次“探究电功率P与电阻R之间的函数关系”的活动．
第一步，实验测量．根据物理知识，改变电阻R的大小，通过测量电路中的电流，计算电功率P．
第二步，整理数据．

R/Ω	…	3	6	9	12	15	…
P/W	…	3	1.5	1	0.75	0.7	…

第三步，描点连线．以R的数值为横坐标，对应P的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数值为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这个数据．实验结束后，大家都有很多收获，每人都撰写了日记．

任务：

(1)、表格中错误的数据是， P与R的函数表达式为；

(2)、在平面直角坐标系中，画出P与R的函数图象；

(3)、结合图象，直接写出P大于6W时R的取值范围．

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21. 通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．

(1)、【画图操作】如图①，三根底部在同一直线上的旗杆直立在地面上，第一根、第二根旗杆在同一灯光下的影长如图所示．请在图中画出光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长（不写画法）；

(2)、【数学思考】如图②，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为____ ；

A、 B、 C、 D、

(3)、【解决问题】如图③，河对岸有一灯杆AB，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向前进到达点F处测得自己的影长FG=4m.已知小明的身高为1.6m，求灯杆AB的高度．

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22. 【定义】平面直角坐标系内的直角三角形如果满足以下两个条件：①两直角边平行于坐标轴；②斜边的两个顶点在同一反比例函数图象上．那么我们把这个直角三角形称为该反比例函数的“伴随直角三角形”．
例如，在图中，Rt△ABC的边BC∥x轴，AC∥y轴，且点A，B在反比例函数
$y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上，则Rt△ABC是反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的“伴随直角三角形”．

(1)、【理解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，点A，B，C的坐标分别为
①A（3，4），B（6，2），C（6，4）；
②A（3，1），B（2，2），C（2，1）；
③A（﹣1，2），B（1，﹣2），C（1，2）．
其中可能是某反比例函数的“伴随直角三角形”的是；（填序号）

(2)、【应用】已知点C（2，﹣3）是反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的“伴随直角三角形”的直角顶点，求直线AB的函数表达式；

(3)、【提升】Rt△ABC是反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的“伴随直角三角形”，且点A的坐标为（﹣4，﹣1），点B的坐标为（﹣1，﹣4）．若△ABC平移后得到的△A'B'C'，且△A'B'C'是反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的“伴随直角三角形”，分别求点A'，B'的坐标．

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23. 如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴负半轴、y轴正半轴上，AB、BC的长分别是方程 $x^{2} - 12 x + 32 = 0$ 的两个根．

(1)、求点B的坐标；

(2)、如图2，过点A且垂直于AC的直线交 $y$ 轴于点F，在直线AF上截取AD=AC，过点D作DE⊥ $y$ 轴于点E，求经过点D的反比例函数的关系式；

(3)、在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使以D，E，P为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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